Примеры для самостоятельного решения

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5. Найти , если

Сделать чертеж.

4.6. Найти , если

Сделать чертеж.

4.7. Найти , если

Сделать чертеж.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15. Тело массой 5 кг движется по прямой по закону где t – время (с), s – путь (см). Вычислить кинетическую энергию этого тела в конце 3-й секунды.

4.16. Дан закон прямолинейного движения точки: , где t – время в секундах, . Найти скорость в конце 2-й и в конце 5-й секунды.

4.17. Вывести формулу производной произведения трех дифференцируемых функций.

4.18.

4.19. Под каким углом пересекаются кривые и

4.20. Составить уравнение той нормали к кривой , которая перпендикулярна прямой . Сделать чертеж.

Ответы

4.1. ;

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

4.20.

Производная сложной функции

Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция дифференцируема в точке и ее производная вычисляется по формуле:

Примеры с решениями

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Обозначим , тогда . По правилу дифференцирования сложной функции получаем

Ответ: .

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Здесь , где

Ответ:

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. Здесь , где

Ответ

Пример 4. Найти производную функции где

Решение. Перед нами показательно-степенная функция, т.е. функция вида .

Для ее дифференцирования можно воспользоваться несколькими способами. Один из них мы рассмотрим сейчас, другой будет разобран в параграфе о дифференцировании функций, заданных неявно. Итак, преобразуя заданную показательно-степенную функцию с помощью основного логарифмического тождества, приведем ее к виду показательной функции:

Получили сложную функцию , где

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.

5.25.

5.26.

5.27. Составить уравнение той касательной к кривой , которая перпендикулярна прямой . Сделать чертеж.

5.28. Зависимость между количеством вещества, получаемого в некоторой химической реакции, временем t выражается уравнением: . Определить скорость реакции.

5.29.

Ответы

5.1. ; 5.2. ;

5.3. ;

5.4. ;

5.5. ;

5.6. ; 5.7. ;

5.8. ; 5.9. ;

5.10. ;

5.11. ;

5.12. ;

5.13. ;

5.14. ;

5.15. ; 5.16. ; 5.17. ;

5.18. ; 5.19. ; 5.20. ;

5.21. ; 5.22. ;

5.23. ; 5.24. ; 5.25. ;

5.26. ; 5.27. ; 5.28.

5.29.

Дифференцирование функций, заданных неявно

Если у есть функция от х и при этом все соответствующие друг другу действительные значения х и у удовлетворяют уравнению , то говорят, что функция y (x) задана уравнением неявно. Для нахождения производной функции y (x), заданной неявно уравнением , достаточно продифференцировать по x обе части этого уравнения, рассматривая у как функцию от x, и из полученного уравнения выразить .

Примеры с решениями

Пример 1. Функция задана неявно уравнением

Найти .

Решение. Поскольку у является функцией от х, будем рассматривать y ³ как сложную функцию от х, следовательно, . Продифференцировав по х обе части заданного уравнения, получим:

Ответ: .

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. В данном примере при нахождении производной удобно от явного задания функции перейти к неявному. Прологарифмируем обе части равенства, задающего функцию (при этом обычно используют натуральный логарифм):

Используя свойства логарифмов, позволяющее показатель степени вынести множителем за знак логарифма, получим неявно заданную функцию у в форме,

удобной для дифференцирования:

Продифференцируем по х обе части полученного уравнения.

Выразим y ′, домножив обе части этого уравнения на

Ответ:

Производную от логарифма функции называют логарифмической производной.

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Отметим, что данная функция на своей области определения принимает положительные значения. Воспользуемся логарифмической производной и свойствами логарифмов:

из этого равенства найдём , умножив обе его части на

Ответ: .

Пусть у есть функция от аргумента x:

(1)

Задавая значения , по формуле (1)будем получать соответствующие значения . Можно, однако, считать у независимой переменной, а x – зависимой, задавать значения у и вычислять соответствующие им значения x. И если каждому значению у будет соответствовать единственное значение x, то равенство (1)можно рассматривать как неявное задание функции х от аргумента у. Такая функция называется обратной по отношению к данной функции у. Если уравнение (1)разрешить относительно х, получим явное выражение обратной функции, её обозначают

И для всех допустимых значений у будет выполняться равенство

(2)

которое можно рассматривать как уравнение, задающее функцию неявно.

Для вычисления производной функции продифференцируем уравнение (2) по у:

Откуда или , если

Таким образом, для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной

данной функции.

Пример 4. Вывести формулу производной функции

Решение. Рассмотрим функцию , где , .

Обратная к ней функция имеет вид , причём при . Воспользовавшись правилом дифференцирования обратной функции, получим

Поскольку cos y > 0 для всех , то, учитывая, что , получаем , при . Следовательно:

т.е. , где

Ответ: , где .

Пример 5. Вывести формулу производной функции, обратной к функции .

Решение. Дана функция , её производная , для всех ,следовательно, функция на всей действительной оси монотонно возрастает и имеет обратную функцию, обозначаемую .