Примеры для самостоятельного решения

Найти интервалы возрастания и убывания функций:

11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

11.5.

11.6.

11.7.

11.8

11.9.

11.10

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

Найти экстремумы функций:

11.15.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.

11.20.

11.21.

Ответы

11.1. убывает при возрастает при ;

11.2. возрастает при и убывает при ;

11.3. убывает при ;

11.4. возрастает при и , убывает при и ;

11.5. возрастает при ;

11.6. убывает при , возрастает при ;

11.7. убывает при возрастает при ;

11.8. возрастает при и при , убывает при ;

11.9. возрастает при , убывает при ;

11.10. убывает при и при , возрастает при ;

11.11. возрастает при и при , убывает при и ;

11.12. убывает при и возрастает при ;

11.13. возрастает при ;

11.14. убывает при и ;

11.15. ;

11.16. ;

11.17. ;

11.18. ;

11.19. ;

11.20. ;

11.21.

Наименьшее и наибольшее значение функции, непрерывной на отрезке

Непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений (теорема Вейерштрасса). Эти значения функция может принимать либо в точках экстремума, находящихся внутри рассматриваемого отрезка, либо на концах этого отрезка. Поэтому решать задачу на наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке можно, руководствуясь следующим правилом:

1) найти критические точки функции, принадлежащие интервалу ;

2) вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка ;

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечание 1. Если функция имеет внутри отрезка лишь одну критическую точку, которая является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Замечание 2. Если функция внутри отрезка не имеет критических точек, то это означает, что она строго монотонна на всем этом отрезке и своих наибольшего и наименьшего значений достигает в концах отрезка.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим . Отсюда видим, что критические точки: и . Находим значения функции в этих точках и на концах данного отрезка:

Из полученного следует, что − наименьшее, а − наибольшее значение функции на заданном отрезке.

Ответ: наименьшее значение , наибольшее значение .

Пример 2. Имеется смесь, состоящая из двух газов: оксида азота и кислорода. При какой концентрации кислорода содержащийся в смеси оксид азота окисляется с максимальной скоростью?

Решение. При наличии условий критической необратимости можно считать, что скорость реакции выражается формулой , где – концентрация в момент времени ; – концентрация ; – константа скорости, зависящая только от температуры. Выражая концентрации и в объёмных процентах, будем иметь , . Находим первую производную и, приравнивая её к нулю: . Найдём .

Найдем вторую производную: , так как , то заключаем, что при скорость окисление имеет максимум. Далее, так как при , , то заключаем, что скорость окисления азота имеет максимум, если кислорода в газовой смеси содержится 33,3 %.

Ответ: При концентрации кислорода 33,3 %.

Пример 3. Требуется изготовить фильтр путём вырезания из круга радиуса сектора и свёртывания последнего в конус. При каком центральном угле сектора объём фильтра будет наибольшим?