При решении задач, связанных с вычислением пределов функций, часто непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённым выражениям вида: 
Нахождение предела в таких случаях называют раскрытием соответствующей неопределенности. Довольно часто справиться с этой проблемой помогает так называемое правило Лопиталя, которое можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема. Если функции 
и 
удовлетворяют следующим условиям:
1) 
или 
;
2) 
и 
дифференцируемы в некоторой окрестности точки 
, и 
для любого 
их этой окрестности (за исключением, может быть, самой точки 
);
3) существует (конечный или бесконечный) 
, то тогда
.
Замечание 1. Если не существует, то нельзя ничего сказать об исходном пределе, т.е. 
может существовать, а может и не существовать. В такой ситуации решать задачу вычисления предела надо без использования правила Лопиталя.
Замечание 2. Правилом Лопиталя можно пользоваться (в случае выполнения условий теоремы) при раскрытии неопределенностей вида 
или 
не только при 
, но и при 
.
Замечание 3. Правило Лопиталя в некоторых задачах можно применять повторно.
Если необходимо раскрыть неопределенности иного вида, нежели и , то следует преобразовывать функцию, стоящую под знаком предела, приведя её к виду, позволяющему применить правило Лопиталя.
Если при 
, а 
, то вычисление предела 
(неопределенность вида 
) может быть сведено к одному из случаев или при помощи тождественных преобразований произведения в частное:
или 
Если при 
, а 
, то вычисление предела 
(неопределенность вида 
) может быть сведено к раскрытию неопределенности 
путем тождественного преобразования разности в произведение:
.
Иногда удобно пользоваться и другими преобразованиями:
или 
При вычислении пределов вида 
можно столкнуться с неопределенностью 
или 
, или 
. Раскрытие этих неопределенностей производят с помощью следующего преобразования:
Тогда (в силу непрерывности показательной функции) получают: 
, что сводит задачу к неопределенности или 
.
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить 
Решение. Подстановка предельного значения аргумента 
приводит к неопределенности , т.е. выполняется первое условие теоремы: 
и 
. Второе условие теоремы тоже выполняется, поскольку функции 
и 
дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем 
для любого из этой окрестности (в качестве окрестности можно рассмотреть, например, интервал 
). Выполняется и третье условие: существует предел отношения производных этих функций 
. Итак, решение этой задачи можно коротко записать следующим образом:
Ответ: 
Пример 2. Вычислить 
Решение.
Ответ: 
Пример 3. Вычислить 
Решение.
Ответ: 0
Пример 4. Вычислить 
Решение.
Ответ: 
Пример 5. Вычислить 
Решение.
Ответ: 
Пример 6. Вычислить 
Решение. 
Рассмотрим 
Ответ: 
.
Пример 7. Вычислить 
Решение. Перед нами неопределенность , в числителе дроби мы видим функции, дифференцируемые на всем множестве действительных чисел, но отношение производных 
не имеет предела при 
. Однако, это не значит, что исходный предел не существует, его можно вычислить без использования правила Лопиталя, применяя лишь тождественные преобразования и свойства пределов:
Ответ: 1.
Пример 8. Вычислить 
Решение. Правило Лопиталя не применимо, так как при 
предел отношения производных 
не существует. Но задача имеет решение:
Ответ: 
Пример 9. Вычислить 
Решение.
Правило Лопиталя не приводит нас к решению этой задачи, но искомый предел существует и его легко вычислить, разделив числитель и знаменатель дроби на x:
Ответ: 
