Примеры для самостоятельного решения

Определить вид кривой, заданной параметрически системой уравнений, и нарисовать её.

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

 

Найти производную функции y = y (x), заданной параметрически системой уравнений

7.7.

7.8.

7.9.

7.10.

7.11.

7.12.

7.13. Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенных в точке, для которой t = .

7.14. Составить уравнения касательной и нормали к астроиде ,

проведенных в точке, для которой t = .

7.15. Составить уравнения касательной и нормали к эллипсу ,

проведенных в точке, для которой t = . Сделать чертёж.

7.16. Составить уравнения касательной и нормали к эллипсу ,

проведенных в точке, для которой t = . Сделать чертёж.

7.17. Составить уравнения касательной и нормали к кривой, заданной параметрически системой уравнений ,

проведенных в точке М₀ (–1;1)

7.18. Составить уравнения касательной и нормали к кривой, заданной параметрически системой уравнений ,

проведенных в точке М₀ (1;–2)

Ответы

7.1. 3 x + 5 y – 11= 0 – уравнение прямой; 7.2. y = 7 x + 31 – уравнение прямой;

7.3.  – уравнение эллипса; 7.4.  – уравнение окружности; 7.5. – уравнение параболы; 7.6.  –уравнение параболы; 7.7. ; 7.8. ;

7.9.  ; 7.10. ; 7.11. ;

7.12. ; 7.13. ; 7.14. y = x +1, y = x;

7.15. 7 x +5 y 35 , 5 x 7 y +12 ; 7.16. 2 x + y –8=0, x 6 y +9=0;

7.17. y = x,   y = x + 2; 7.18. 5 x +3 y +1=0, 3 x 5 y 13=0.

 

Дифференциал функции

Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке х ₀ , если её приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента ∆ х, может быть представлено в виде

                                        ∆ y = A ·∆ x +α(∆ x)· ∆ x,                                           (1)

где А – число, не зависящее от ∆ x (А зависит от х ₀ ), α(∆ x) – бесконечно малая функция при ∆ x →0.

Дифференциалом этой функции в точке х ₀ называется главная часть её приращения функции А ·∆ x (линейная относительно приращения аргумента). Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируемой в точке х ₀, необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная ; при этом справедливо равенство . Этот факт позволяет называть  дифференцируемой всякую функцию, имеющую конечную производную. Выражение для дифференциала функции y = f (x) в точке х ₀ имеет вид

                                                       d y (х ₀) = f '(х ₀)· ∆ x.                                      (2)

Для независимой переменной х её приращения совпадает с её дифференциалом: ∆ x = d x. Таким образом, для вычисления дифференциала функции используют формулу

                                                      d y = f '(х)· d x.                                                    (3)

Геометрически дифференциал функции y = f (x) в точке х ₀ равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в точке           М ₀(х ₀; f (х ₀)) при приращении аргумента ∆ x.

 

Основные свойства дифференциала

Если ,  и  – дифференцируемые функции, то:

1.

2.

3.

4.

5.

6. Cвойство инвариантности: дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, будет ли аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией от другой независимой переменной, т.е. если u = u (x) – функция, дифференцируемая в точке x, а y = f (u) – функция, дифференцируемая в соответствующей точке u, то

Таблица дифференциалов некоторых элементарных функций

Пусть u = u (x) – дифференцируемая функция, тогда

1. d (u ^α)=α· u ^α-1· du

2. d (a^u)= a^u · ln a · du

 

3. d (e^u)= e^u · du

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. d (sh u) = ch u · du

15. d (ch u) = sh u · du

16.

17.

Если приращение аргумента ∆ х мало по абсолютной величине, то ∆ y ≈ d y, т.е. f (x ₀+∆ x) – f (x ₀) ≈ f '(x ₀ )·∆ x, откуда получаем формулу для приближённых вычислений значения функции в точке:

                                 f (x ₀+∆ x) ≈ f (x ₀) + f '(x ₀ )·∆ x.                                  (4)

Примеры с решениями

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение. Воспользуемся формулой (3).

Ответ:

Пример 2. Вычислить приближённо 1,98⁶.

Решение. Рассмотрим число 1,98⁶ как конкретное значение функции y = x⁶ в точке х ₀+∆ х =1,98. Возьмём х ₀=2, тогда ∆ х =–0,02. Вычислим f (x ₀) = f (2) = 2⁶=64. Найдем f '(x) = (x ⁶ )'=6 x ⁵ и вычислим f '(x ₀) = f '(2)=6·2⁵=6·32=192. Поставим полученные значения в формулу (4):

1,98⁶ ≈ f (x ₀)+ f '(x ₀)·∆ x =64+192·(–0,02)=64–3,84=60,16.

Ответ: 1,98⁶ ≈ 60,16.

Пример 3. Найти приближенно значение объёма V шара радиусом           r =1,02 м.

Решение. Поскольку V (r) = , то, полагая r ₀ = 1, ∆ r = 0,02 и используя формулу (4), получаем:

V (1,02) ≈ V (r ₀)+ V '(r ₀)·∆ r = V (1)+ V '(1)·0,02 = +4π·0,02≈4,44.

Ответ: 4,44 м ³.