Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции

Функция  называется возрастающей (убывающей) на интервале , если она определена на этом интервале () и если для любых двух точек  и , принадлежащих этому интервалу, из условия следует неравенство  ().

Функция  называется неубывающей (невозрастающей) на интервале , если она определена на этом интервале () и если для любых двух точек  и , принадлежащих этому интервалу, из условия  следует неравенство  ().

Функция  называется монотонной на интервале , если она является неубывающей на этом интервале или невозрастающей на этом интервале. Если функция  возрастающая на  или убывающая на , то ее называют строго монотонной на интервале .

Если функция  дифференцируема и является возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, то  () для любого  из этого промежутка. При этом точки, в которых  не заполняют никакого отрезка (необходимое условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в промежутке).

Если функция  дифференцируема и является неубывающей (невозрастающей) в некотором промежутке, то () для любого  из этого промежутка – необходимое условие неубывания (невозрастания) дифференцируемой функции в промежутке.

Если в любой точке  некоторого промежутка (), то в этом промежутке функция  возрастает (убывает) − достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в промежутке.

Рассмотрим функцию , непрерывную в точке . Точка  называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для все из этой окрестности . Значение функции в точке максимума называется максимумом функции: .

Точка  называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех  из этой окрестности . Значение функции в точке минимума называется минимумом функции:

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции. Значения функции в точках экстремума называются экстремумами функции.

Если функция  имеет в точке  экстремум, то  или  не существует – необходимое условие экстремума. Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать только среди тех точек, в которых производная функции равна нулю или не существует, такие точки называются критическими или стационарными точками функции.

Если функция  непрерывна в некоторой окрестности критической точки  и дифференцируема в этой окрестности (за исключением может быть, самой точки ) и если при переходе через (слева направо):

1)  меняет знак с «+» на «−», то – точка максимума функции,

2)  меняет знак с «−» на «+», то – точка минимума функции,

3)  не меняет знак, то в точке  функция не имеет экстремума.

Если в критической точке  функция  дважды дифференцируема, то определить характер экстремума (если в точке  функции имеет экстремум) можно по знаку второй производной, а именно:

1) если , то  − точка максимума функции,

2) если , то  − точка минимума функции.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Решение. Область определения функции . Находим производную . Для нахождения интервалов возрастания функции решаем неравенство , , , получаем , на этих интервалах функция возрастает. Для нахождения интервалов убывания решаем неравенство , , , получаем , на этом интервале функция убывает.

Можно поступить и так: находим точки, в которых , , , . Эти точки отметим на числовой прямой и определим знаки производной на образовавшихся интервалах:

Интервалы, на которых производная функции имеет знак «+», являются интервалами возрастания функции, а те, на которых «−» − интервалами убывания.

Ответ: функция возрастает на интервале  и ; функция убывает на интервале

Пример 2. Найти интервалы монотонности функции

Решение. Область определения функции . Находим производную , решаем уравнение ,

.

Изображаем область определения функции и наносим на нее точку , после чего определяем знак производной на каждом из образовавшихся интервалов:

 

Теперь видим, что на интервале  функция убывает, а на интервале  возрастает.

Ответ: функция возрастает на интервале , убывает на интервале

Пример 3. Найти экстремумы функции

Решение. Область определения функции . Находим производную . Находим критические точки:  не существует при ,  при .

Изображаем область определения функции (это вся числовая прямая) и наносим на нее критические точки, после чего определяем знак производной на каждом из образовавшихся интервалов:

По знаку производной на каждом интервале определяем характер монотонности функции и видим точки экстремума. Остается вычислить сами экстремумы функции: .

Ответ:

Пример 4. Найти экстремумы функции .

Решение.

Критические точки:

Ответ: , .