Функция 
называется возрастающей (убывающей) на интервале 
, если она определена на этом интервале (
) и если для любых двух точек 
и 
, принадлежащих этому интервалу, из условия 
следует неравенство 
(
).
Функция называется неубывающей (невозрастающей) на интервале , если она определена на этом интервале () и если для любых двух точек и , принадлежащих этому интервалу, из условия 
следует неравенство 
(
).
Функция называется монотонной на интервале , если она является неубывающей на этом интервале или невозрастающей на этом интервале. Если функция возрастающая на или убывающая на , то ее называют строго монотонной на интервале .
Если функция дифференцируема и является возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, то 
(
) для любого 
из этого промежутка. При этом точки, в которых 
не заполняют никакого отрезка (необходимое условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в промежутке).
Если функция дифференцируема и является неубывающей (невозрастающей) в некотором промежутке, то 
(
) для любого 
из этого промежутка – необходимое условие неубывания (невозрастания) дифференцируемой функции в промежутке.
Если в любой точке некоторого промежутка 
(
), то в этом промежутке функция возрастает (убывает) − достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в промежутке.
Рассмотрим функцию , непрерывную в точке 
. Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для все 
из этой окрестности 
. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции: 
.
Точка 
называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки 
, что для всех 
из этой окрестности 
. Значение функции в точке минимума называется минимумом функции: 
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции. Значения функции в точках экстремума называются экстремумами функции.
Если функция имеет в точке экстремум, то 
или 
не существует – необходимое условие экстремума. Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать только среди тех точек, в которых производная функции равна нулю или не существует, такие точки называются критическими или стационарными точками функции.
Если функция непрерывна в некоторой окрестности критической точки и дифференцируема в этой окрестности (за исключением может быть, самой точки ) и если при переходе через (слева направо):
1) 
меняет знак с «+» на «−», то – точка максимума функции,
2) меняет знак с «−» на «+», то – точка минимума функции,
3) не меняет знак, то в точке функция не имеет экстремума.
Если в критической точке функция дважды дифференцируема, то определить характер экстремума (если в точке функции имеет экстремум) можно по знаку второй производной, а именно:
1) если 
, то − точка максимума функции,
2) если 
, то − точка минимума функции.
Примеры с решениями
Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции 
.
Решение. Область определения функции 
. Находим производную 
. Для нахождения интервалов возрастания функции решаем неравенство , 
, 
, получаем 
, на этих интервалах функция возрастает. Для нахождения интервалов убывания решаем неравенство , 
, 
, получаем 
, на этом интервале функция убывает.
Можно поступить и так: находим точки, в которых 
, 
, 
, 
. Эти точки отметим на числовой прямой и определим знаки производной на образовавшихся интервалах:
Интервалы, на которых производная функции имеет знак «+», являются интервалами возрастания функции, а те, на которых «−» − интервалами убывания.
Ответ: функция возрастает на интервале 
и 
; функция убывает на интервале 
Пример 2. Найти интервалы монотонности функции 
Решение. Область определения функции 
. Находим производную 
, решаем уравнение 
,
.
Изображаем область определения функции и наносим на нее точку 
, после чего определяем знак производной на каждом из образовавшихся интервалов:
Теперь видим, что на интервале 
функция убывает, а на интервале 
возрастает.
Ответ: функция возрастает на интервале , убывает на интервале
Пример 3. Найти экстремумы функции 
Решение. Область определения функции 
. Находим производную 
. Находим критические точки: 
не существует при 
, 
при 
.
Изображаем область определения функции (это вся числовая прямая) и наносим на нее критические точки, после чего определяем знак производной на каждом из образовавшихся интервалов:
По знаку производной на каждом интервале определяем характер монотонности функции и видим точки экстремума. Остается вычислить сами экстремумы функции: 
.
Ответ:
Пример 4. Найти экстремумы функции 
.
Решение.
Критические точки: 
Ответ: 
, 
.
