Раскрытие неопределённости вида  с иррациональностями

Рассмотрим на примере.

Пример 6. Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Домножим числитель и знаменатель дроби, предел которой мы ищем, на выражение , сопряжённое числителю.

Ответ:  .

Для пределов подобного вида способ домножения на сопряжённое выражение является типичным.

3. Случай неопределённости вида  

Для раскрытия исходной неопределённости нужно разделить числитель и знаменатель дроби на переменную x  в наибольшей степени, которая входит в данную дробь, учитывая, что величина обратная бесконечно большой есть бесконечно малая величина.

Пример 7. Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на .

Ответ: .

В общем случае можно использовать правило:

4. Случай неопределённостей вида:

Эти неопределённости сводятся к неопределённостям вида  одним из следующих способов:

а) приведение дробей к общему знаменателю,

б) преобразование функции к виду дроби,

в) избавление от иррациональности (домножение на сопряжённое выражение числителя и знаменателя дроби).

Пример 8. Вычислить предел:

Решение.

  

Ответ: 2.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить пределы:

Ответы

1.1.  . 1.2. – 2. 1.3. 14. 1.4. 1. 1.5. . 1.6. –9. 1.7. 3. 1.8. . 1.9. . 1.10. 6.

1.11. . 1.12.   1.13.   1.14. . 1.15. . 1.16. . 1.17.  . 1.18. . 1.19. ∞. 1.20. 0. 1.21. 1. 1.22. . 1.23. . 1.24. ∞. 1.25. . 1.26. 2. 1.27.  . 1.28. 0.      1.29. 0. 1.30. 2. 1.31. 0. 1.32. 1,5. 1.33. –∞. 1.34. +∞. 1.35. +∞. 1.36. +∞. 1.37. –∞. 1.38. –∞.

 

Вычисление предела функции с использованием замечательных пределов

Первым замечательным пределом называется предел вида:

.

Примеры с решениями

Пример 1. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: a.

Пример 2. Вычислить предел:

Решение. Используем тригонометрические формулы:

Ответ: 4.

 

Вторым замечательным пределом называется предел вида:

 

Пример 3. Вычислить предел:

Ответ: .

Пример 4. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: .

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить пределы:

Ответы

  2.1. 5. 2.2. 3. 2.3. . 2.4.    2.5. – 4,5. 2.6. – . 2.7. 0,5. 2.8. 2. 2.9. – . 2.10. 5. 2.11. 3. 2.12. 0. 2.13. cos 3. 2.14. 1. 2.15. 1,75. 2.16. . 2.17. – . 2.18. 14.  

  2.19. – 1. 2.20. – 0,5. 2.21. . 2.22. – . 2.23. . 2.24. . 2.25. . 2.26. .   2.27. .  2.28. . 2.29. . 2.30. . 2.31. 0. 2.32. . 2.33. 1. 2.34. –7.

 

Производная функции одной переменной

(определение, геометрический смысл)

Рассмотрим функцию  , определенную в точке x и в некоторой окрестности этой точки.

Определение 1. Производной функции  в точке x называется предел отношения приращения функции в точке x к приращению аргумента при условии стремления приращения аргумента к нулю, если такой предел существует:

                                                         (1)

Для обозначения производной используют символы:

Определение 2. Односторонние пределы  называются соответственно левой производной и правой производной функции      в точке x (если эти пределы существуют). Их обозначают . Для существования производной функции   в точке x  необходимо, чтобы ее правая и левая производные в этой точке существовали и были равны:

 

Примеры с решениями

Пример 1. Найти для функции  пользуясь определением производной.

Решение. Пусть  – приращение аргумента. Найдем соответствующие ему приращение функции в точке   x = 2:

Воспользуемся определением производной:

Ответ:

Пример 2. Найти  для функции  в точке х = 0.

Решение. Пусть  – приращение аргумента. Найдем соответствующее ему приращение функции в точке x = 0:

Воспользуемся определением:

Ответ: .

Заметим, что функция  не имеет производной в точке x = 0,    так как

С геометрической точки зрения значение производной функции   в точке x ₀  представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику  функции  в точке M ₀ (x ₀; f (x ₀)), т.е.  , где  – угол наклона касательной к оси О x.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции  в точке с абсциссой x ₀, имеет вид:

                                  .                               (2)

Уравнение нормали к графику той же функции в точке с абсциссой x ₀:

                                                                  (3)

если .

 Если в точке x ₀ функция  имеет бесконечную производную, т.е.  или  или , то касательная к графику этой функции в точке с абсциссой   x ₀ перпендикулярна оси

 

Уравнение касательной в этих случаях имеет вид: x = x ₀ , а уравнение нормали – . Если же , то уравнение нормали: x = x ₀ .

Углом между кривыми  и называется угол между касательными, проведёнными к этим кривым в точке их пересечения

                                                                       (4)

если .

Если же , то касательные перпендикулярны и .

Пример 3.  Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x ₀ = 2.

Решение. Воспользуемся уравнениями касательной (2) и нормали (3).

В эти уравнения надо поставить x ₀ = 2;   и найденное в примере 1 значение . Получим уравнение касательной:  и уравнение нормали:

Ответ:   – уравнение касательной;

  – уравнение нормали.

Пример 4. Пользуясь определением, найти значение производной функции  в точках

Решение. Выведем формулу производной функции  в любой точке , пользуясь определением. Зададим аргументу приращение и найдем соответствующее ему приращение функции:

Итак,  . Вычислим значения производной в указанных точках:

Ответ:

      Если при прямолинейном движении точки задан закон движения  то скорость движения v в момент времени t ₀ есть производная по времени: , а ускорение а в момент времени   t ₀ определяется производной скорости движения по времени: