Пусть в пространстве V заданы два базиса: 
и 
. Координаты вектора x в этих базисах обозначим через 
и 
соответственно. Установим связь между координатами вектора в различных базисах. Выразим векторы первого базиса через векторы второго: 
. По определению координат 
. Подставим вместо векторов базиса e, их выражения через векторы базиса f, получим равенство 
. Преобразуем левую часть равенства (поменяем порядок суммирования) 
. В силу единственности координат вектора выводим равенства 
, или в матричном виде 
, где на пересечении строки i и столбца j матрицы P стоит 
. Матрица P называется матрицей перехода. Отметим, что в j столбце матрицы P стоят координаты вектора 
в базисе f.
Обозначим через 
матрицу перехода от базиса e к базису f. Равенство 
справедливо для всех векторов x. Следовательно, 
, или 
. В качестве следствия из этого равенства и условия существования обратной матрицы выводим невырожденность матрицы перехода. Обратно, пусть матрица P – невырожденная. Положим 
. Система векторов 
образует базис в пространстве V. Действительно, поскольку матрица P невырожденная, то к ней существует обратная матрица 
. Далее, 
(выражение 
представляет собой элемент произведения матриц PT=E, стоящий на пересечении строки s и столбца i). Поскольку каждый вектор из базиса e линейно выражается через векторы системы f, то система f является полной, а т.к. система состоит из n векторов, то она является минимальной, а, значит, образует базис пространства. Матрицей перехода от базиса e к базису f является матрица P.
Рассмотрим систему векторов 
из арифметического пространства 
. Матрицу, составленную из столбцов , обозначим A.
Теорема 7.8 Критерий линейной независимости системы векторов.
Система векторов из арифметического пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда определитель матрицы 
равен нулю.
Доказательство. Если система линейно зависима, то найдутся числа 
не все равные нулю, что 
. Не нарушая общности можно считать, что 
(иначе перенумеруем векторы), и 
(иначе поделим все числа на 
). Определитель не изменится, если к первому столбцу прибавить остальные столбцы с коэффициентами 
, а определитель матрицы, содержащий нулевой столбец равен нулю. Таким образом, если система векторов линейно зависима, то определитель матрицы равен нулю. Если матрица A невырожденная, её можно рассматривать как матрицу перехода от базиса 
к .
Система векторов 
из арифметического пространства является линейной независимой тогда и только тогда, когда её можно дополнить до базиса всего пространства какими то векторами из системы . По доказанной теореме, система 
образует базис в том и только том случае, если определитель матрицы 
отличен от нуля. Определитель этой матрицы, с точность до знака, совпадает с минором k-го порядка матрицы 
, получающегося вычёркиванием строчек с номерами 
. Следовательно, система векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда все миноры k-го порядка матрицы равны нулю. Оформим полученный результат в виде теоремы.
Теорема 7.9 Система линейно зависима тогда и только тогда, когда все миноры k-го порядка матрицы равны нулю.
