Определение 7.9. Пространство называется конечномерным, если оно является линейной оболочкой конечной системы векторов.
Теорема 7.3. Подпространство конечномерного пространства – конечномерно.
Доказательство. Пусть V – конечномерное пространство, W – его подпространство. По определению, V представляется в виде линейной оболочки конечной системы векторов 
. Проведём доказательство теоремы индукцией по n. При n=1 утверждение очевидно, так как любое подпространство, содержащее не нулевой вектор, в этом случае, совпадает с V. Пусть утверждение доказано для n-1. Покажем его справедливость для n. Возьмём не нулевой вектор 
и запишем его в виде линейной комбинации 
. Не нарушая общности можно считать 
(иначе перенумеруем векторы ). Множество векторов 
образует подпространство в линейной оболочке 
и по предположению индукции это подпространство конечномерно. Пусть линейная оболочка векторов 
совпадает с . Поскольку векторы 
принадлежат W, то включение 
очевидно. Пусть 
- произвольный вектор W. Вектор 
принадлежит подпространству 
и , а значит, и их пересечению. Представим вектор 
в виде линейной комбинации векторов 
и выразим d (
). Таким образом, установлено включение 
, из которого, в силу произвольности выбора d, выводим равенство 
, т.е. W - конечномерное подпространство.
Пусть V конечномерное пространство.
Определение 7.10. Минимальная полная система векторов из V называется базисом пространства. Число векторов в базисе называется размерностью пространства.
Размерность пространства V обозначают dimV.
Следствие 7.7 Размерность подпространства не превосходит размерности всего пространства. Если размерность подпространства совпадает с размерностью пространства, то подпространство совпадает с пространством.
Доказательство. Пусть W – подпространство конечномерного пространства V. Обозначим через базис V. Подпространство W - конечно мерно (Теорема 7.3) и, значит, имеет базис 
. По теореме о замене выполняется неравенство 
. В случае равенства 
из доказательства теоремы о замене вытекает совпадение линейных оболочек 
.
Определение 7.11. Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами.
Теорема 7.4. Координаты любого вектора существуют и единственны.
Доказательство. Поскольку базис полная система, то любой вектор пространства разложим по базису. Допустим вектор x имеет два различных разложения по базису 
и 
. Вычтем одно из другого, получим равенство 
. В силу линейной независимости базисных векторов, все коэффициенты при базисных векторах равны нулю, а, значит разложения совпадают.
Координаты вектора 
в базисе 
обозначим через 
.
Следствие 7.8. Справедливы равенства 
, 
, 
.
Доказательство очевидно.
Теорема 7.5. (дополнение до базиса)
Базис подпространства конечномерного пространства можно дополнить до базиса всего пространства..
Доказательство. Пусть W подпространство V. Обозначим через 
базис W а через 
- базис V. В системе 
удалим векторы, которые линейно выражаются через предыдущие вектора системы. Получившаяся система будет являться базой, а значит образует базис в пространстве V. Кроме того, векторы линейно независимы, и не могут линейно выражаться через предыдущие вектора системы, и значит, они содержатся в базисе. Фактически получается, что система векторов дополнилась некоторыми векторами из базиса V до базиса всего пространства.
Теорема 7.6 (размерность суммы) Пусть V,W – конечномерные подпространства. Тогда 
.
Доказательство. Обозначим через базис пространства 
. Дополним его до базиса пространства V векторами (т.е. 
- базис V) и до базиса W - векторами 
(т.е. 
- базис W). Легко убедиться, что 
совпадает с линейной оболочкой векторов 
. Далее, система векторов линейно независима. Действительно, если не так, то линейная комбинация этих векторов с не нулевыми коэффициентами равна нулю. Пусть 
. Из равенства 
выводим, что вектор y принадлежит V и W. Раз вектор y принадлежит пересечению , то все 
(в силу единственности координат), что противоречит линейной независимости системы . Таким образом, система векторов образует базис . Далее, имеем 
, 
, 
и 
. Для завершения доказательства осталось убедиться в справедливости равенства 
.
