Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.

Определение 7.4. Система векторов  называется линейно зависимой, если существуют числа  не все равные 0, что , и линейно независимой в противном случае.

Следствие 7.4 Если система содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Следствие 7.5 Если система содержит линейно зависимую подсистему векторов, то она линейно зависима. Любая подсистема линейно независимой системы – линейно независима.

Определение 7.5 Будем говорить, что вектор b линейно выражается через систему векторов , если найдутся числа , что .

Свойство 7.1. Система векторов  линейно независима тогда и только тогда, когда она не содержит нулевого вектора и ни один вектор системы линейно не выражается через предыдущие.

Доказательство. Пусть система  линейно независима. Тогда она не содержит нулевых векторов (Следствие 7.4). Допустим, что какой то вектор системы, например , линейно выражается через предыдущие векторы. Значит, найдутся числа , что . Перенесём всё в левую часть, получим . Из последнего равенства вытекает линейная зависимость подсистемы , и следовательно, линейная зависимость системы  (Следствие 7.5), что противоречит условию. К противоречию привело допущение о выразимости вектора . Следовательно, ни один вектор системы линейно не выражается через предыдущие векторы.

Пусть система векторов  не содержит нулевых векторов и ни один вектор системы линейно не выражается через предыдущие векторы. Допустим, система линейно зависима. Тогда найдутся числа  не все равные нулю, что . Обозначим через k наибольший номер, при котором . Номер k больше 1, так как иначе . Выразим из равенства  вектор , , т.е. вектор  линейно выражается через предыдущие векторы, что противоречит условию. Следовательно, допущение о линейной зависимости системы векторов не верно.

Лемма 7.1. Пусть вектор b линейно выражается через систему векторов , тогда .

Доказательство. Пусть  и , т.е. . Тем самым установлено включение . Поскольку обратное включение, очевидно, то лемма доказана.

Лемма 7.2. Пусть  и , тогда

Доказательство. Имеет место равенство  (Лемма 7.1). Выразим . Тогда справедливо равенство  (Лемма 7.1). Приравняв левые части равенств, получим требуемое утверждение.

Теорема 7.2 (о замене). Пусть система векторов  линейно независима и каждый вектор этой системы линейно выражается через векторы , тогда .

Доказательство. Поскольку , то найдутся коэффициенты, что . Все коэффициенты не могут одновременно обращаться в ноль (иначе линейно независимая система содержит нулевой вектор). Не нарушая общности можно считать, что  (иначе перенумеруем векторы). Имеет место равенство  (Лемма 7.2). Далее,  и, значит, . Все коэффициенты  одновременно в ноль не обращаются (в силу линейной независимости системы векторов ). Не нарушая общности можно считать, что . Следовательно, имеет место равенство . Допустим, что уже показано равенство  (s<n, s<k). Поскольку , то . Все коэффициенты  одновременно в ноль не обращаются (в силу линейной независимости системы векторов ). Не нарушая общности можно считать, что . Следовательно, имеет место равенство . Процесс не может остановиться из-за нехватки векторов , поскольку это противоречит линейной независимости . Следовательно, процесс остановится после того, как все векторы  войдут в систему и, значит, .

Следствие 7.6. Пусть системы векторов  и  линейно не зависимы, и линейно выражаются друг через друга, тогда k=n.

Доказательство. По теореме о замене выполняются неравенства  и . Следовательно, k=n.

Определение 7.6. Максимальная (по числу векторов) линейно независимая подсистема системы векторов называется базой.

 Пусть  - база системы векторов. Добавление любого вектора f из системы к базе сделает её линейно зависимой системой (Определение 7.6). Следовательно, найдутся коэффициенты не все равные нулю, что . Коэффициент  отличен от нуля, так как иначе система  будет линейно зависимой. Из равенства можно выразить вектор . Тем самым установлено, что любой вектор системы линейно выражается через векторы базы, и, значит, линейная оболочка векторов базы совпадает с линейной оболочкой всей системы векторов (Лемма 7.1). Поскольку рассуждения верны для любой базы, то для любых двух баз выполняются условия Следствие 7.6, и, значит, количество векторов в базе не зависит от выбора базы.

Определение 7.7. Число векторов в базе называется рангом системы.

В ряде случаев удобно пользоваться эквивалентным определением базы.

Определение 7.8. Подсистема векторов называется полной, если её линейная оболочка совпадает с линейной оболочкой всех векторов системы. Минимальная (по количеству векторов) полная подсистема системы векторов называется базой.

Свойство 7.2. Определение 7.6 и Определение 7.8 базы эквивалентны.

Доказательство следует из определений и Лемма 7.1.