Извлечение корней, корни из единицы

Из комплексного числа существует ровно n корней степени n. Справедливо . Если , то множество всех корней n-ой степени имеет вид: .

Отсюда вытекает, что формула Муавра-Лапласа обобщается и на случай рациональных степеней. Следует иметь в виду, что она даёт одно из возможных значений, а не всё множество.

Особый интерес представляет множество корней степени n из 1. Легко проверить, что это множество замкнуто относительно операции умножения. Более того, множество корней степени n представляется как степень одного из корней, т.е. . Корень степени n из 1 называется первообразным, если последовательным возведением его в степень можно получить всё множество корней степени n из 1.

Теорема 1.5 (о первообразных) Корень из 1 вида  является первообразным тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель k и n равен 1.

Доказательство. Положим  и построим последовательность чисел  до первого повторения. Поскольку в указанной последовательности встречаются только корни из 1 степени n, количество которых не больше n, то повтор наступит обязательно. Пусть  и j>1, тогда , и повтор встретился раньше. Следовательно, s - наименьшее число, при котором , или, то же самое, ks делится на n без остатка. Наименьшее число s, при котором ks делится на n, равно n/НОД(n,k). Корень  будет первообразным тогда и только тогда, когда в последовательности встречаются все корни, т.е. s=n, а значит n=n/НОД(n,k), или НОД(n,k)=1.

Вычисление формул специального вида

1.7.3.1 Вычисление формул вида  

Введём комплексное число . Из формулы Муавра-Лапласа вытекают равенства  и , сложив их, получим . Из последнего равенства выводим , и далее по биному Ньютона . Положив , придём к равенству .

1.7.3.2 Вычисление формул вида  

Введём комплексное число . Как и выше, выводим . Подставим в сумму . Для выполнения операции деления представим 1-z в тригонометрической форме:  и аналогично . После выполнения преобразований придём к окончательной формуле  

1.7.3.3 Вычисление формул вида .

Обозначим сумму через , где j=0,1,…,d-1, а через  - первообразный корень степени d из 1. Тогда, легко проверить, , где j=0,1,…,d-1. Умножим каждое из равенств на  и сложим. В результате получим равенство . Запишем  в тригонометрической форме  возведём в степень n и подставим:  или, что .

Многочлены

Определение 2.1Многочленом (полиномом) называется функция вида .

Коэффициенты многочлена берутся из некоторого числового множества M. Множество всех многочленов с коэффициентами из M обозначим через M (x). В качестве M обычно рассматривается числовое кольцо, либо числовое поле.