Из комплексного числа существует ровно n корней степени n. Справедливо 
. Если 
, то множество всех корней n-ой степени имеет вид: 
.
Отсюда вытекает, что формула Муавра-Лапласа обобщается и на случай рациональных степеней. Следует иметь в виду, что она даёт одно из возможных значений, а не всё множество.
Особый интерес представляет множество корней степени n из 1. Легко проверить, что это множество замкнуто относительно операции умножения. Более того, множество корней степени n представляется как степень одного из корней, т.е. 
. Корень степени n из 1 называется первообразным, если последовательным возведением его в степень можно получить всё множество корней степени n из 1.
Теорема 1.5 (о первообразных) Корень из 1 вида 
является первообразным тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель k и n равен 1.
Доказательство. Положим 
и построим последовательность чисел 
до первого повторения. Поскольку в указанной последовательности встречаются только корни из 1 степени n, количество которых не больше n, то повтор наступит обязательно. Пусть 
и j>1, тогда 
, и повтор встретился раньше. Следовательно, s - наименьшее число, при котором 
, или, то же самое, ks делится на n без остатка. Наименьшее число s, при котором ks делится на n, равно n/НОД(n,k). Корень 
будет первообразным тогда и только тогда, когда в последовательности встречаются все корни, т.е. s=n, а значит n=n/НОД(n,k), или НОД(n,k)=1.
Вычисление формул специального вида
1.7.3.1 Вычисление формул вида 
Введём комплексное число 
. Из формулы Муавра-Лапласа вытекают равенства 
и 
, сложив их, получим 
. Из последнего равенства выводим 
, и далее по биному Ньютона 
. Положив 
, придём к равенству 
.
1.7.3.2 Вычисление формул вида 
Введём комплексное число 
. Как и выше, выводим 
. Подставим в сумму 
. Для выполнения операции деления представим 1-z в тригонометрической форме: 
и аналогично 
. После выполнения преобразований придём к окончательной формуле 
1.7.3.3 Вычисление формул вида 
.
Обозначим сумму через 
, где j=0,1,…,d-1, а через 
- первообразный корень степени d из 1. Тогда, легко проверить, 
, где j=0,1,…,d-1. Умножим каждое из равенств на 
и сложим. В результате получим равенство 
. Запишем 
в тригонометрической форме 
возведём в степень n и подставим: 
или, что 
.
Многочлены
Определение 2.1Многочленом (полиномом) называется функция вида 
.
Коэффициенты многочлена берутся из некоторого числового множества M. Множество всех многочленов с коэффициентами из M обозначим через M (x). В качестве M обычно рассматривается числовое кольцо, либо числовое поле.
