Тема 2.3 Задача проверки статистических гипотез

2.3.1 Основные понятия теории проверки гипотез.

2.3.2 Проверка гипотез о числовых значениях.

2.3.3 Проверка гипотез о равенстве средних.

Основные понятия теории проверки гипотез

Проверка статистических гипотез.

Предположим, что x₁,…,x_n – выборка из генеральной совокупности с функцией распределения F(x). F(x) может быть полностью неизвестна, тогда можно поставить следующую гипотезу:
H₀: F(x)=F⁰(x), где F⁰(x) – конкретная функция распределения. Если вид функции распределения  известен с точностью до каких-то m неизвестных параметров. Тогда гипотеза  - заданные числа. Пусть x₁,…,x_n - берется из нормальной генеральной совокупности.

Допустим -известно и оно равно 1, т.е. ГС ~ N(a,1). Тогда или .

Пусть известно a=0, т.е. выборка берется из . или .

Пусть a и  неизвестны:  или  

Подчеркнутые гипотезы называются простыми, поскольку задают единственную точку в пространстве параметров. Если гипотеза задает 2 и большее число точек в пространстве, то такая гипотеза называется сложной.

H₀ – основная или нулевая гипотеза.

H₁ – конкурирующая гипотеза или альтернатива.

 

Пример: Пусть x₁,x₂,…,x_n – выборка из нормальной генеральной совокупности с параметрами

 

или                     или                 и т.д

 

Мы будем предполагать, что одна из H₀ или H₁ обязательно верна.

Пусть X- выборочное пространство, т.е. это множество возможных значений вектора . Для построения критерия проверки гипотезы в выборочном пространстве выбирается критическая область таким образом, что если , то нулевая гипотеза H₀ отвергается, т.е. принимается гипотеза H₁, а если не попадает в область K, т.е. , то H₀ – принимается.

Обычно K выбирается следующим образом:

D=D(x₁,x₂,…,x_n) - некоторая функция от выборочных ранных значений, т.е. случайная величина.

Обычно критическая область K выбирается одним из следующих 3-х способов: односторонние критические области

 двусторонняя критическая область

 

 

1.		Правосторонняя критическая область
2.		Левосторонняя критическая область
3.		Двусторонняя критическая область
	Чаще всего двусторонняя область строится в виде:

О. Случайная величина D=D(x_1,x₂,…,x_n) называется статистикой критерия.

 

Ошибки:

Ошибка 1-го рода возникает, если H₀ – отвергается при условии, что H₀ – верна.

-вероятность ошибки 1-го рода. .

О. Вероятность ошибки 1-го рода называется уровнем значимости критерия.

Ошибка 2-го рода возникает тогда, когда H₀ принимается, хотя она неверна (т.е. верна H₁).

-вероятность ошибки 2-го рода. .

Одновременно  невозможно. Если  увеличивать, то  будет уменьшаться и наоборот.

Классическая постановка задачи заключается в следующем: - фиксированное ( =0,01, =0,05) так чтобы  и при этом условии K выбирают из того условия, чтобы  была как можно меньше.

Чаще всего на практике выдвигается H₀, а H₁ не выдвигается, и задают уровень значимости =0,05; 0,01; 0,005; 0,001.

 задают таким образом, чтобы событие, имеющее вероятность  было практически невозможно. Поэтому  находится K, исходя из условия, что .

Если , то произошло событие с вероятностью , значит, H₀ отвергается.

Если , то произошло событие с вероятностью 1- , значит H₀ согласуется с экспериментальными данными.

О. Все критерии, построенные на таком принципе, называются критериями значимости.

Предположим, что имеется выборка x₁,x₂,…,x_n из генеральной совокупности с неизвестной функцией распределения F(x). Предположим, что имеется гипотеза H₀ : F(x)=F⁰(x), где F⁰(x) – заданная функция распределения.