Эмпирическая функция распределения

Эмпирическая функция распределения.
Полигон и гистограмма.

Предположим, что имеется выборка  из генеральной совокупности с функцией распределения F(x). Через Y обозначим случайную величину, принимающую значения  с вероятностями 1/n.

			.

О. Случайная величина Y называется выборочной или эмпирической. Ряд распределения случайной величины Y называется выборочным или эмпирическим.

О. Числовые характеристики теоретической СВ Х называются генеральными характеристиками.

О. Числовые характеристики эмпирической случайной величины Y называются выборочными.

О. Генеральным начальным элементом к-го порядка называется число b_k = MX^k.

О. Выборочным начальным моментом к-го порядка называется число

.

О. Выборочной средней называется среднее арифметическое выборочного ряда распределения, т.е. .

О. Генеральным центральным моментом к-го порядка называется число

m_k=M(X-MX)^k

О. Выборочным центральным моментом к-го порядка называется число

.

В частности,

-

 - выборочная дисперсия.

 - оценка генеральной дисперсии .

О. Эмпирической функцией распределения называется функция распределения выборочной (эмпирической) случайной величины Y. Обозначается эта функция: .

 , где  - число выборочных значений

О. Последовательность значений , записанных в возрастающем порядке , где  , называется вариационным рядом выборки.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем  наблюдалось  раз, раз, …,  раз и  - объем выборки.

О. Наблюдаемые значения  называют вариантами.

Числа наблюдений  называют частотами, а их отношения к объему выборки  - относительными частотами.

О. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот попавших в этот интервал вариант).

Замечание В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

В МС – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или относительными частотам.

Пример 1 Задано распределение частот выборки объема :

Написать распределение относительных частот.

Решение Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

Напишем распределение относительных частот:

Контроль:

Пусть имеется вариационный ряд  ,где . Найдем эмпирическую функцию распределения.

 

Если n велико, то , где F(x) – функция распределения генеральной совокупности.

Таким образом, эмпирическая функция распределения служит для оценки функции распределения генеральной совокупности.

Пример 2 Построить эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки:

Решение Найдем объем выборки 12+18+30=60. Наименьшая варианта равна 2, следовательно:

 при .

Значение  наблюдалось 12 раз, следовательно

 при .

Значение , а именно  наблюдалось 12+18=30 раз, следовательно,

 при .

Так как x=10 – наибольшая варианта, то

 при .

Искомая эмпирическая функция:

График этой функции:

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

О. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты . Точки  соединяют отрезками и получают полигон частот.

О. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки

 

Предположим, что  - выборка из непрерывной генеральной совокупности с плотностью вероятности . Необходимо построить оценку плотности .

Интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения, разбиваем на k частичных интервалов длины

, где  - наибольшая, а  - наименьшая из вариант,

, где  - число выборочных значений, попадающих в i – й интервал , n – объем выборки.

Полученная ступенчатая фигура называется гистограммой относительных частот.

О. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны отношению  

(вместо ).

Площадь , т.е. равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

  

2.1.3 Определение распределения Гаусса и его свойства.                                                                                       РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ХИ - КВАДРАТ.

Пусть X_i, —нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидании каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение (или дисперсия)—единице. Тогда сумма квадратов этих величин  распределена по закону Х² с k=n степенями свободы. Если же эти величины Х_i связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы k=n-1.

Плотность этого распределения , где —гамма-функция; в частности, Г(n+1)=n!

Отсюда видно, что распределение «x и квадрат» определяется одним параметром—числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

 

 Распределение Стьюдента.

 

Пусть Z—нормально распределенная величина, причем M(Z)=0, G²=1, т.е. Z~N(0,1), а V—независимая от Z величина, которая распределена по закону Х² с k степенями свободы. Тогда величина  имеет распределение, которое называют t—распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В.Госсета), с k степенями свободы. С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

Плотность распределения случайной величины t имеет вид , .

Случайная величина t имеет математическое ожидание Mt=0,  (k>2).

 

 Распределение Фишера.

 

Если U и V—независимые случайные величины, распределенные по закону Х² со степенями свободы k₁ и k₂, то величина  имеет распределение Фишера F со степенями свободы k₁ и k₂. Плотность этого распределения , где

.

Распределение Фишера F определяется двумя параметрами—числами степеней свободы.