Вычисление определенного интеграла

 

Теорема. Интеграл с переменным верхним пределом равен первообразной функции f(x). Если функция f (x) непрерывна на интервале [a,b], то функция

 

Ф(х) =

 

где , дифференцируема в любой внутренней точке х этого интервала, причем Ф¢(x) = f (x), то есть функция Ф(х) является первообразной функции f (x). Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Доказательство. Найдем производную функции Ф(x). Для этого вначале выберем приращение аргумента D х столь малым, чтобы точка х + D х лежала внутри отрезка [ a,b ], и найдем приращение функции Ф(х) (рис. 5.5, приращение обозначено зеленым цветом).

 

DФ(х) = Ф(х + D х) - Ф(х) = =

Здесь мы использовали свойство аддитивности. К полученному интегралу применим теорему о среднем (5.13)

DФ(x) = = f (с)D x, где с Î [ x, x +D x ].

Рис. 5.5. Интеграл с переменным верхним пределом.

 

Следовательно,  = f (с). Поскольку f (x) непрерывна и, если D х ® 0, то с ® x, а Поэтому производная функции Ф(х) равна f (x)

.                                  (5.13)

 

А так как производная функции Ф(х) равна f (x), то, по определению первообразной, Ф(х) первообразная. Следовательно, интеграл от функции f (x) с постоянным нижним и переменным верхним пределом х, есть одна из первообразных функции f (x) .

Теорема. Формула Ньютона – Лейбница. Если функция f (x) непрерывна на интервале [ a,b ], то определенный интеграл равен разности значений первообразной на концах промежутка

.                                                              (5.14)

 

Доказательство. В силу непрерывности на отрезке [ a,b ] функция f (x) интегрируема и, на основании предыдущей теоремы, имеет первообразную

 

Ф(x) = = F (x) + C.                                                                 (5.15)

 

Константу С легко выразить через значение первообразной F (х) в точке а. Действительно, принимая во внимание, что

 

Ф(а) = = 0                                                      (5.16)

из (5.16) получим:

 

- F (a) = C.                                                                                  (5.17)

 

Поскольку

 

Ф(b) = ,                                                   (5.18)

 

то, подставив (5.17) в (5.18) получим формулу Ньютона – Лейбница

 

                                                    (5.19)

 

где F (x) - первообразная для функции f (x), а - знак подстановки Ньютона. Этот знак означает, что сперва в функцию F (x) подставляем верхний предел и вычитаем функцию вычисленную в точке нижнего предела.

Формула (5.19) дает следующее правило: для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции, т.е. вычислить неопределенный интеграл, а затем вычислить разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределе.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. . Следовательно, по формуле (5.19)

 

При вычислении определенного интеграла используются те же основные приемы, что и при вычислении неопределенного интеграла.

 

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

 

=  -                                  (5.20)

Пример 2. Вычислить

Решение. Прямому вычислению данного интеграла препятствует наличие сомножителя х в подынтегральном выражении. Поскольку производная от х ’=1, то, используя (5.20), возьмем u = x. Тогда

 

=

 

Замена переменной в определенном интеграле. При вычислении определенного интеграла можно использовать замены, в том числе простейшие замены: линейную и «типа подведение под знак дифференциала».

 

=                             (5.21)

 

где x = j(t), j(a) = a, a=j^-1(a); j(b) = b, b = j^-1(b).

 

Пример 3. Вычислить .

Решение. Положив ln (х) = t, имеем . Если х = 1, то t = ln 1 = 0, если х = е, то t = ln е = 1. Тогда

 

 

Несобственные интегралы

 

Для существования определенного интеграла необходимо, чтобы промежуток интегрирования был конечен и подынтегральная функция ограничена. Когда не выполняется одно или оба эти условия, приходят к понятию несобственного интеграла.

 Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция f (x) определена и непрерывна для всех х удовлетворяющих условию а £ х <+¥.

Рассмотрим интеграл . При изменении величины b этот интеграл будет вести себя как непрерывная функция от b. Если при бесконечном возрастании величины b существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом от функции f (x) с бесконечным верхним пределом. Таким образом, по определению

 

.                                               (5.22)

 

Если предел в (5.22) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом

 

,                                                                     

 

и несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами

 

.                                            

 

Из определений несобственных интегралов непосредственно следует схема их вычисления: вначале находится первообразная F (x) для подынтегральной функции f (x), затем рассматривается разность пределов первообразных в точках верхнего и нижнего пределов интегрирования, т.е.

 

.                                                  

 

Пример. Установить, при каких значениях р сходится и при каких расходится интеграл .

Решение:

если p 1,  , 

если p = 1,  ,  

Вывод: сходимость интеграла I зависит от значения параметра р:

если р > 1, то , т.е. интеграл сходится,

если р < 1, то , т.е. интеграл расходится,

если р = 1, то  интеграл расходится.

 

Несобственные интегралы от разрывных функций. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на [ a,b ] за исключением точки с Î [ a,b ]. Рассмотрим три случая.

1. Функция терпит разрыв в точке b. Интеграл от функции f (x) с точкой разрыва на верхнем пределе определяется так

.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

 

2. Функция терпит разрыв в точке а. Тогда по аналогии с предыдущим случаем интеграл с точкой разрыва на нижнем пределе определяется так

 

.

Пример. Исследовать интеграл  Здесь подынтегральная функция  не существует в точке х = 0, поэтому

 

.

 

Таким образом, данный интеграл расходится (не существует).

 

Функция имеет разрыв во внутренней точке отрезка [ a,b ], т.е.

a < c < b.

 

.

 

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке 0. Поэтому

 

.