- , , .
F (x, y, y ¢) = 0.(6.7)
F - . x y ( ), y ¢. (6.7) y ¢,
y ¢ = f (x, y), (6.8)
f - x y (6.8). . (6.8) - y = φ (x), , , :
.
1. y ¢ + y ctg x - 2 cos x = 0.
, y = sin x . y y ¢ sin x (sin x)¢ = cos x.
cos x + sin x ctg x - 2cos x = cos x + cos x - 2cos x º 0.
.
y = j (x,C) (6.9)
(6.7), C.
j (x, y, C) = 0, . (6.7) - , (6.9) C.
(6.7) : y = y (x),
(6.10)
x 0, y 0 - .
(6.10) , x 0, y 0 - .
- , f (x, y) f (x) g (y),
y ¢ = f (x) ∙ g (y).
(6.11)
: y¢ , (6.11) .
:
(6.12)
x y, , . .
G (y) = , F (x) = , (6.12)
dG (y) = dF (x).
, ,
G (y) = F (x) + C
. (6.13)
|
|
(6.13) (6.11). (6.13),
2. .
. y ¢:
f (x) = -1/ , g(y) = y.
y ¢
.
. ,
,
C 1 - .
: l n ½ y ½ = - l n ½ x ½ + C1. C 1 C 1 = l n C 2 (C 2 > 0).
l n ½ y ½ = - l n ½ x ½ + l n C 2
C2 , C2 = C,
C - .
. , y ½ x =4 = . x y 4 . . , C = 2. ,
, y(x) y¢(x).
y ¢ + p (x) y = f (x).
(6.14)
f (x) º 0, ( ) . ,
y ¢ + p (x) y = 0
( ).
f (x) ¹ 0, (6.14) .
, y ¢ - y cos2 x = 2 . y ¢ - y cos2 x = 0. (6.14) . . . (6.14) :
y = u () ∙ v (). (6.15)
,
y ¢ = u ¢ () ∙v () + u () ∙ v ¢ ()(6.16)
(6.14) y y ¢ (6.15) (6.16),
u ¢ () v () + u () v ¢ () + p () u () v () = f ()
u ¢ v + u [ v ¢ + p(x)v ] = f (). (6.17)
(6.17) , v , u , ..
v ¢ + p (x) v = 0. (6.18)
(6.18) v (x) . (6.18) :
,
v - , (6.18), C = 0. ,
ln (v) = - Þ .
v (x) (6.17),
,
(6.19)
C - . , y (x), u (x) v (x):
|
|
(6.20)
(6.20) (6.14).
. .
. ,
y = u ∙ v, y ¢ = u ¢ v + uv ¢.
.
:
.
v (x) - . :
v (x) , u (x):
u ¢(x 2 + 3) = (x 2 + 3) cosx.
u ¢ = cos(x) u = Þ u = sin(x) + C.
y (x):
y = uv Þ y = (sin (x) + C)∙(x 2 + 3).