Теоремы о дифференцируемых функциях

Для дифференцируемых функций выполняется ряд важных для приложений теорем. Перечислим основные теоремы.

Теорема Вейерштрасса.

Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [ a, b ], то она достигает на этом промежутке наибольшего M и наименьшего m значений.

При этом могут возникать три случая.

1. Наименьшее и наибольшее значения достигаются внутри промежутка [ a, b ] (рис.2.3 а).

а б в

Рис. 2.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале.

2. На границе достигается либо только наибольшее, либо только наименьшее значение (рис. 2.3 б).

3. На границе достигается и наибольшее и наименьшее значение (рис. 7.3в).

Теорема Роля

Пусть функция у = f (x):

1. непрерывна на отрезке [ a, b ],

дифференцируема во всех внутренних точках отрезка, т. е. в интервале (a, b),

2. f (а) = f (b).

Тогда внутри отрезка (a, b) существует по крайней мере одна точка с,

a < c < b в которой производная обращается в ноль f `(c) = 0.

Замечание. Точка с является корнем производной. Если f(а) = f(b) =0, то теорема формулируется так: между корнями функции лежит корень производной.

Доказательство. Функция у = f (x) непрерывна на промежутке [ a, b ], то, по теореме Вейерштрасса, она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Но так как значения функции на концах промежутка совпадают, то исключен третий случай теоремы Вейерштрасса, т.е. одно из значений – наибольшее или наименьшее – достигаются внутри промежутка. Предположим, что внутри в точке с, a < c < b достигается наибольшее значение М = f (с), остальные случаи доказываются аналогично. Докажем, что в точке с производная обращается в ноль.

Возьмем два значения аргумента х ₁> c, х ₂< c (рис. 2.4).

Для х ₁:D x = х ₁– с, D x > 0, D f (x) = f (х ₁) - f (с) = f (х ₁) - М < 0.

Следовательно

Для х ₂:D x = х ₂– с, D x < 0, D f (x) = f (х ₂) - f (с) = f (х ₂) - М < 0.

Следовательно

Тем самым, в точке с производная равна нулю f `(c) = 0.

Рис. 2.3. Теорема Ролля.

Замечание. В точке с касательная идет горизонтально параллельно оси ОХ.

Формула Лагранжа (формула конечных приращений). Пусть функция у = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], дифференцируема во всех внутренних точках отрезка, т. е. в интервале (a, b), то внутри отрезка существует по крайней мере одна точка с, a < c < b в которой справедливо равенство: полное приращение функции равно производной, вычислленной в точке с, умноженной на длину промежутка

f (b) - f (а) = f `(c)(b - а). (2.18)

В точке с касательная параллельна секущей MN (см. рис. 2.4).

Рис. 2.4. Геометрический смысл формулы конечных приращений.

Теорема Коши. Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [ a,b ], причем g (x) ≠ 0, дифференцируемы во всех внутренних точках отрезка, т. е. в интервале (a, b), то внутри отрезка существует точка с, a < c < b в которой справедливо равенство

(2.19)

Правило Лопиталя. Пусть функции f (x) и g (x) на отрезке [ a, b ] удовлетворяют условию теоремы Коши и f (с) = g (с) = 0 (a < c < b), то если существует предел отношения производных при х →с, то существует и придел отношения функций в этой точке, причем

(2.20)

Замечание. Правило Лопиталя можно применять и для раскрытия неопределенностей типа .

Пример. Вычислить предел .

Решение. Так как е^-х = 1/е^х, то предел можно преобразовать к виду

Формула Тейлора. Пусть функция у = f (x) в интервале (a,b) имеет производные до (n +1) ˗ го порядка включительно. Приближающий полином n ˗ ой степени, значение которого и его производных до порядка n включительно совпадают со значением функции и ее производных в точке x ₀ имеет вид

(2.21)

…

В окрестности точки х₀замена функции полиномом (2.21) дает некоторую ошибку. Формула Тейлора обеспечивает возможность точной замены данной функции полиномом

… (2.22)

где a < x < b, a<x ₀ <b, x ₀ <c<x.

Выражение

(2.23)

называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Величина R_n (x).определяет погрешность, возникающую при замене функции полиномом степени n из (2.23). Форма Лагранжа позволяет при вычислениях найти оценку сверху для ½ R_n (x)½.

Если учесть, что

Δ х = х – х _0,

Δ f (x) = f (x) - f (x ₀),

d ⁿ f (x)= f ⁿ(x)Δ х,

то получим дифференциальную форму формулы Тейлора

(2.24)