. .
, , , . , Δ > 0,
.
Δ f (x) > 0 f `(x) > 0,
Δ f (x) < 0 f `(x) < 0.
() 0, 0, 0 (), : . .
f ( 0) > f (x)
f ( 0) < f (x)
0.
. , ,
f `(x) > 0
,
f `(x) < 0.
f `(x) < 0,
f `(x)>0).
( ) ( ). . 2.5 1, 2 3, 1 , 2 3 .
, ( ) + - - + ( ).
, , . . .
. . , . . 2.3 , .
. 2.5.
( ) (a,b), , f ``(x) < 0.
( ) (a,b), , f ``(x) > 0 (.2.6).
|
|
, ( ):
f ``(x 0) < 0,
f ``(x 0) > 0.
, ( + - - +) (. 2.6).
. 2.6. . .
. y = x 2e- x.
y = x 2e- x y `= 2 x e- x - x 2e- x = x e- x (2 x);
y `= 0 x = 0 x = 2, .
y ``= (2 x e- x x 2e- x )) = 2e-x - 2 x e-x 2 x e-x + x 2 e-x = e-x(2 - 4 x + x 2);
y ``= 0 x1,2 =2 ,
y ``(0) = 2 > 0,
= 0 ,
y ` `(2) = -2e-2< 0, = 2 .
y = kx + b ( ) f (x), →∞ (. 2.7).
, .
. 2.7.
1. y = x e-x.
, .
= 0 () .
2. .
1. .
2. ,
.
3. O , OY x = 0, y = -2, .. (0; -2).
4. .
) : . .
.
.
) y = kx + b,
.
, .
5. .
- , .
, .
. 2.8. .
, =-1 , , . =2 , , (. 2.8).
; .
5. .
, . , , ( 1. ) (. 2.9).
. 2.9. .
, (. 2.10).
3.
[-4; 4].
, [-4; 4], :
;
.
. 2.10.
[-4; 4] . , . : .
2. [-4; 4]: .
3. , : [-4; 4] 40 , -41 .
|
|
, , .
, , , . , , .
4. V .
. r h, ,
.
r h , , , V. h ,
,
r .
S r, r (0; ∞).
.
, . , .
,
, .
(0; ∞). S (0; ∞) .
.
, , , , .
.
Y D. (, ) - .
(, ) f z, ,
z = f (x, ) (3.1)
D . Z ={ z } . f (x, y) - ( 3.1), σ. σ XOY D.
. , , u = f (x, y, z,) D.
, . .
.3.1. .
Z , , Z, σ . σ z = f (x, ) . Y (. 3.2).
. 3.2. .
z = f (x, ) 0(x 0, y 0),
(x, y) 0(x 0, y 0) . .
|
|
, m M .
. 0 x 0 y 0 .. 0(x 0, y 0) 1 x 1 y 1 1(x 1, y 1) (.3.3). z 0 = f (x 0, 0) z 1 = f (x 1, 1).
Δ z 1 0
. (3.2)
. 2(x 1, y 0) 3(x 0, y 1). Δ z 2 0
, (3.3)
. 3.3. .
Δ z 3 0
. (3.4)
, , .
.
. f (x, y) y = y 0 Δ , Δ ( ). y 0 , .
f (x, y) y
, f (x, y) y . y, .
,
1. z x ¢ z y ¢
z = x 3 y 2 + sin x - 4 y.
. , , , , , ,
z = f (x, y) .
:
f (x, y)
f (x, y) y
f (x, y) x y
- f (x, y) y .
, ,
2 ( 1).
f (x, y) = x 3 y 2 + sin x - 4 y.
. ,
z xx¢¢ = (3 x 2 y 2 + cos x) = 3 y 2 ∙2 x - sin x = 6 xy 2 - sin x,
zyy ¢¢ = (2 x 3 y 4)y = 2 x 3∙1= 2 x 3,
zxy ¢¢ = (3 x 2 y 2 + cos x)y = 3 x 2 2 y = 6 x 2 y = zyx ¢¢.
3. , y
|
|
f (x, y) = 2 x 4 ∙ ln y - cos(x + y 3) + x 3
:
, ;
.
4. f (x, y, z, t)
f (x, y, z, t) = xz 3 t 2 + yz 2 cos(y 3 - t).
. z t
5. .
. →
→ .
,
. df (x, y) f (x, y)
. (3.5)
, Δ x = dx,
Δ y = dy.
. (3.6)
. (3.7)
. (3.8)
, , , Δ Δ , ..
D z = D f (x, y) = df (x,y) + a(Δ x, Δ y). (3.9)
. f (x 0, y0) , f (x 1, y 1) = f (x 0+D x, y 0+D y), .
(3.10)
1. .
.
2. f (x, y) = xy , x 0 = 4, y 0 = 3, x 1 = 4,2 y 1 = 3,1.
. Δ = x 1 - x 0 = 0.2; Δ y = y 1 - y 0 =0.1.
D f (, ) = f ( 1, 1) - f ( 0, 0) = x 1 y 1 + x 0 y 0 = 4.2 ∙ 3.1 - 12 = 1.02
, () D f d f 0.06.
d 2 z
(3.11)
. D z = f (x, ). gradz (, ) ,
. (3.12)
.
(3.13)
.
(3.14)
(, ) .
, z = f (x, )
. (3.15)
.. .
(3.16)
(3.17)
. (1,2,4) .
.
(3.18)
(3.8) ,
.
|
|
, , n. , .
, . , (2.24)
, , ,
(3.19)
(3.20)
. , z = f (x, ) 0(x 0, y 0),
f (x 0, 0) > f (x, ).
, 0(x 0, y 0)
f (x 0, 0) < f (x, ).
D. (. 3.4).
Δ f (x, y) < 0 (3.21)
Δ f (x, y) > 0 (3.22)
ࠠ
. 3.4. () () .
. 0(x 0, y 0) . , = y 0, f (x, 0) , . , = x 0, .
, .
(3.22)
. (3.22) , .
. . 0(x 0, y 0) z = f (x, ) , ,
(3.23)
, 젠 (3.24)
, . (3.25)
, .
. , .
, ,
Δ f (x, y) Δ f (x, y) < 0. , , .
=(Δ )2, t, . t, t
, 4 ,
t 2. . .
1. .
.
, , . zxx > 0, .
, , .
2. , Y, y = 2 .
. , , , . () , .
(0; 0) (1; 1), . . , z () , (1;1). (. 3.5).
,
; . ,
;
. 3.5. .
: Q . , , Q .
, .
: . , , .
, , , Q, , , , .. :
12 -1. :