Использование производных позволяет прояснить многие особенности в поведении функций. Наиболее важными особенностями функций являются интервалы монотонности и точки экстремумов функций.
Если функция относится к классу дифференцируемых монотонных функций, то ее производная сохраняет знак на интервале монотонности, причем возрастающая функция имеет положительную производную, а убывающая – отрицательную. Действительно, если Δх > 0, то так как
то знак производной совпадает со знаком приращения функции.
Для возрастающих функций
Δ f (x) > 0 
f `(x) > 0,
для убывающих функций
Δ f (x) < 0 f `(x) < 0.
Функция имеет локальный максимум (минимум) в точке х 0, если она определена как в точке х 0, так и в окрестности этой точки и значение функции в точке х 0 больше (меньше), чем ее значения во всех соседних точках: т. е.
f (х 0) > f (x) в точках максимума
f (х 0) < f (x) в точках минимума
для всех х из окрестности точки х 0.
Минимумы и максимумы функции объединены единым понятием – экстремумы. До точки максимума функция возрастает, следовательно, ее производная положительна
f `(x) > 0
после точки максимума – убывает, производная отрицательна
f `(x) < 0.
Для точки минимума первоначально функция убывает
f `(x) < 0,
а потом возрастает
f `(x)>0).
В самих точках экстремумов производная или равна нулю (обычный экстремум) или не существует (острый экстремум). На рис. 2.5 функция имеет экстремумы в точках х 1, х 2 и х 3, причем в точке х 1 – острый максимум, а в точках х 2 и х 3 обычный минимум и максимум.
Тем самым, в точках экстремумов функции производная равна нулю или не существует (необходимое условие экстремума) и меняет знак с «+» на «-» в точках максимумов и с «-» на «+» в точках минимумов (достаточные условия экстремума).
Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Не все стационарные точки являются точками экстремумов. В стационарных точках надо проверять достаточное условие экстремума.
Замечание. Не надо путать наибольшее и наименьшее значение и экстремумы. Экстремум достигается всегда внутри промежутка, а наибольшее и наименьшее значения могут достигаться и в точках экстремумов и на границах промежутка и в точках разрыва. На рис. 2.3 в конечных точках достигается наименьшее значение, но не минимум.
Рис. 2.5. Экстремумы функции
Функция называется выпуклой (выпуклость вверх) на интервале (a,b), если график функции лежит под любой касательной в каждой точке интервала, на всем интервале выпуклости вторая производная отрицательна f ``(x) < 0.
Функция называется вогнутой (выпуклость вниз) на интервале (a,b), если график функции лежит над любой касательной в каждой точке интервала, на всем интервале вогнутости вторая производная положительна f ``(x) > 0 (рис.2.6).
Следовательно, в точках экстремумов вторая производная имеет определенный знак (достаточное условие экстремума по второй производной):
в точках максимумов f ``(x 0) < 0,
в точках минимумов f ``(x 0) > 0.
Точки, в которых вторая производная равна нулю и меняет знак (с «+» на «-» или с «-» на «+») называются точками перегиба (рис. 2.6).
Рис. 2.6. Выпуклость и вогнутость кривой. Точка перегиба.
Пример. Исследовать функцию y = x 2e- x.
y = x 2e- x 
y `= 2 x e- x - x 2e- x = x e- x (2 – x);
y `= 0 если x = 0 или x = 2, это стационарные точки.
y ``= (2 x e- x – x 2e- x ))’ = 2e-x - 2 x e-x – 2 x e-x + x 2 e-x = e-x(2 - 4 x + x 2);
y ``= 0 если x1,2 =2 
,
это точки перегиба
y ``(0) = 2 > 0,
следовательно в точке х = 0 минимум,
y ` `(2) = -2e-2< 0, следовательно в точке х = 2 максимум.
Прямая y = kx + b называется асимптотической прямой (наклонной асимптотой) для функции f (x), если при х →∞ расстояние от переменной точки графика функции М до прямой стремится к нулю (рис. 2.7). При этом
, 
.
Рис. 2.7. Асимптота
Пример 1. y = x e-x.
, 
.
Прямая у = 0 является наклонной (горизонтальной) асимптотой.
Пример 2. Исследовать функцию 
и построить её график.
1. Функция определена и непрерывна в интервалах 
.
2. Функция общего вида, так как
.
3. График функции не пересекается с осью O Х, а с осью OY пересекается при x = 0, y = -2, т.е. в точке В(0; -2).
4. Исследуем функцию на наличие асимптот.
а) Уравнение вертикальной асимптоты: 
. Вычислим пределы функции при 
слева и справа.
.
.
б) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx + b, где
.
Таким образом, уравнение наклонной асимптоты 
.
5. Исследуем функцию на экстремум.
- точки, подозрительные на экстремум.
Исследуем знак производной в интервалах, окружающих подозрительные точки.
Рис. 2.8. Исследование на экстремум.
Получили, что в точке х =-1 возрастание функции сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. В точке х =2 убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума (рис. 2.8).
; 
.
5. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость.
Точек перегиба нет, так как 
. Исследуем знак второй производной в интервалах, где функция определена, (смотрите пункт 1. этого примера) (рис. 2.9).
Рис. 2.9. Исследование функции на выпуклость и вогнутость.
Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции (рис. 2.10).
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке [-4; 4].
Найдем критические точки функции 
, лежащие внутри отрезка [-4; 4], и вычислим ее значения в этих точках:
;
в точках 
и 
.
Рис. 2.10. График функции 
Эти точки лежат внутри отрезка [-4; 4] и являются критическими. Других критических точек нет, так как производная существует всюду. Значение функции в критических точках: 
и 
.
2. Вычислим значения функции на концах отрезка [-4; 4]: 
и 
.
3. Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции на отрезке [-4; 4] равно 40 и достигается ею во внутренней критической точке , а ее наименьшее значение равно -41 и достигается на левой границе отрезка 
.
Во многих геометрических, физических и технических задачах требуется найти наибольшее или наименьшее значение величины, связанной функциональной зависимостью с другой величиной.
Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия, выбрать независимую переменную, а затем найти искомое наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом интервал изменения независимой переменной, который может быть конечным или бесконечным, также определяется из условия задачи.
Пример 4. Найти размеры цилиндрической закрытой цистерны с заданным объемом V и с наименьшей полной поверхностью.
Решение. Обозначив радиус и высоту цилиндра через r и h, а его полную поверхность через 
, получим
.
Здесь переменные r и h не являются независимыми, а связаны между собой равенством 
, так как согласно условию, цилиндр должен иметь заданный объем V. Определяя из этого равенства h и подставляя в выражение полной поверхности, найдем
,
где r изменяется в интервале 
.
Выразив таким образом исследуемую полную поверхность цилиндра S через одну переменную r, найдем теперь ее наименьшее значение при изменении r в интервале (0; ∞).
Найдем критические точки
.
в единственной точке 
, которая лежит в рассматриваемом интервале. Эта точка является критической, других критических точек нет.
Исследуем найденную критическую точку по знаку второй производной в этой точке
,
откуда следует, что критическая точка есть точка минимума.
Функция 
непрерывна в интервале (0; ∞). Поэтому согласно свойству непрерывных функций единственный минимум функции S в интервале (0; ∞) совпадает с ее наименьшим значением в этом интервале.
При получим
.
Следовательно, цилиндрическая закрытая цистерна, имеющая любой заданный объем, будет иметь наименьшую полную поверхность, когда ее осевое сечение представляет квадрат.
Функции многих переменных
Функции двух переменных.
Пусть на плоскости Х Y задана область D. Каждой точке М этой области соответствует упорядоченная пара чисел (х, у) - ее координаты.
Если каждой упорядоченной паре чисел (х, у) поставлено в соответствие по закону f число z, то говорят, что задана функция двух переменных
z = f (x, у) (3.1)
Область D называется областью определения функции. Множество Z ={ z } образует область значений функции. График функции f (x, y) - поверхность в пространстве (рис 3.1), эту поверхность часто обозначают σ. Проекция поверхности σ на плоскость XOY и есть область D.
Аналогично задается функция трех и более переменных. Физически, например, функцию трех переменных u = f (x, y, z,) можно интерпретировать как плотность вещества в объемной области D.
Следует заметить, что функции двух переменных являются самым простым и наглядным случаем среди всех функций многих переменных и поэтому обычно подробно рассматриваются. Полученные при этом свойства остаются верными и для функций произвольного числа переменных.
Рис.3.1. График функции двух переменных.
Если на оси Z нанести масштаб, и провести через точки деления плоскости, перпендикулярные оси Z, то поверхность σ разделится на части. На каждой линии сечения плоскостью поверхности σ функция z = f (x, у) будет постоянной величиной. Линии сечения проектируют на плоскость Х Y и называют линиями уровня (рис. 3.2).
Рис. 3.2. Линии уровня.
Функция z = f (x, у) называется непрерывной в точке М 0(x 0, y 0), если имеет место равенство
и точка М (x, y) стремится к М 0(x 0, y 0) оставаясь все время в области определения функции. Функция непрерывная в каждой точке области называется непрерывной во всей области.
Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она достигает там своего наименьшего m и наибольшего M значений.
Приращения функции двух переменных. Выберем в области определения функции точку М 0 с координатами x 0 и y 0 т.е. М 0(x 0, y 0) и точку М 1 с координатами x 1 и y 1 М 1(x 1, y 1) (рис.3.3). вычислим в этих точках значенияфункции z 0 = f (x 0, у 0) и z 1 = f (x 1, у 1).
Полным приращением функции двух переменных Δ z называется разность ее значений в точках М 1 и М 0
. (3.2)
Сделаем дополнительное построение. Построим точку М 2(x 1, y 0) и М 3(x 0, y 1). Частным приращением по аргументу х Δ х z называется разность значений функции в точках М 2 и М 0
, (3.3)
Рис. 3.3. Приращения функции двух переменных.
а частным приращением по аргументу у Δ у z называется разность значений функции в точках М 3 и М 0
. (3.4)
Сумма частных приращений, в общем случае, не совпадает с полным приращением.
.
Частные производные. Частной производной 
от функции двух переменных f (x, y) по переменной х при y = y 0 называется предел отношения частного по х приращения функции 
к вызвавшему его приращению аргумента Δ х, при Δ х стремящемся к нулю (если этот предел существует и конечен). Так как y 0 любое фиксированное число из области допустимых значений, то его можно заменить на у. Тогда
Частная производная от функции f (x, y) по переменной y 
определяется и обозначается аналогичным образом
То есть, при вычислении частной производной от функции двух переменных f (x, y) по х второй аргумент y выступает как величина постоянная. Если же вычисляется частная производная по y, то х принимается постоянной величиной.
При вычислении частных производных удобно помнить, что
Пример 1. Вычислить частные производные z x ¢ и z y ¢ от функции 
z = x 3 y 2 + sin x - 4 y.
Решение. В соответствии с определением, имеем для частной производной по х сам у и любая функция, зависящая только от у, есть величина постоянная, а для частной производной поу сам х и любая функция, зависящая только от х, есть величина постоянная
Частная производная от z = f (x, y) тоже является функцией двух переменных и от нее вновь можно вычислять частные производные и так далее.
Функция двух переменных имеет следующие вторые производные:
вторая производная от f (x, y) по х дважды
вторая производная от f (x, y) по y дважды
вторая смешанная производная от f (x, y) по x и по y
- вторая смешанная производная от f (x, y) по y и по х.
для функций, имеющих непрерывные частные производные второго порядка, смешанные производные второго порядка совпадают
Пример 2 (продолжение примера 1). Вычислить вторые производные для функции
f (x, y) = x 3 y 2 + sin x - 4 y.
Решение. Применяя правила дифференцирования, получим
z xx¢¢ = (3 x 2 y 2 + cos x)х’ = 3 y 2 ∙2 x - sin x = 6 xy 2 - sin x,
zyy ¢¢ = (2 x 3 y – 4)y’ = 2 x 3∙1= 2 x 3,
zxy ¢¢ = (3 x 2 y 2 + cos x)y’ = 3 x 2 2 y = 6 x 2 y = zyx ¢¢.
Пример 3. Вычислить четвертую производную, причем одну по х и три по y для функции
f (x, y) = 2 x 4 ∙ ln y - cos(x + y 3) + x 3
В соответствии и правилами дифференцирования сложных функций и функций многих переменных имеем:
При вычислении было учтено, что 
; 
Производные от функций большего числа производных вычисляются по тем же правилам.
Пример 4. Пусть дана функция четырех переменных f (x, y, z, t)
f (x, y, z, t) = xz 3 t 2 + yz 2 cos(y 3 - t).
Решение. Вычислим вторую смешанную производную по аргументам z и t
Пример 5. Проверить удовлетворяет ли функция 
уравнению 
.
Решение. 
→ 
→ 
.
Складывая полученные выражения, получим
Дифференциалы функции двух переменных. Полным дифференциалом df (x, y) функции f (x, y) называется сумма произведений частных производных на приращения или дифференциалы переменных х и у
. 
(3.5)
Напомним, что по определению для независимых переменных Δ x = dx,
Δ y = dy.
Частным дифференциалом по переменной х называется следующее выражение
. (3.6)
Аналогично определяется частный дифференциал по переменной у
. (3.7)
Следовательно
. (3.8)
Полное приращение функции двух переменных, вызванное приращением ее аргументов, отличается от полного дифференциала на бесконечно малую функцию более высокого порядка малости, чем приращения аргументов Δ х и Δ у, т.е.
D z = D f (x, y) = df (x,y) + a(Δ x, Δ y). (3.9)
В этой связи на практике при небольших изменениях аргументов приращение функции заменяют на ее полный дифференциал. Если значение f (x 0, y0) известно, но неизвестно f (x 1, y 1) = f (x 0+D x, y 0+D y), то приближенное значение функции удобно вычислять при помощи полного дифференциала.
(3.10)
Пример 1. Найдем полный дифференциал функции 
.
Решение.
Пример 2. Найти для функции f (x, y) = xy приращение и соответствующий полный дифференциал, если x 0 = 4, y 0 = 3, а x 1 = 4,2 и y 1 = 3,1.
Решение. Δ х = x 1 - x 0 = 0.2; Δ y = y 1 - y 0 =0.1.
D f (х, у) = f (х 1, у 1) - f (х 0, у 0) = x 1 y 1 + x 0 y 0 = 4.2 ∙ 3.1 - 12 = 1.02
Следовательно, разность (рассогласование) между D f и d f составит 0.06.
Вторым дифференциалом функции двух переменных d 2 z называется диференциал от первого дифференциала
Опуская скобки и учитывая равенство смешанных производных получим
(3.11)
Градиент и производная по направлению. Пусть в каждой точке области D задана дифференцируемая функция двух переменных z = f (x, у). градиентом функции gradz в точке М (х, у) называется вектор, проекциями которого являются частные производные
. (3.12)
Знак 
читается как знак градиента или просто как название буквы 
«набла».
Аналогично определяется градиент функции трех переменных
(3.13)
Направление вектора градиента указывает направление наискорейшего изменения функции. Длина вектора 
равна
(3.14)
Для функции двух переменных в каждой точке М (х, у) вектор градиента перпендикулярен линии уровня.
Если задан вектор 
, то производной функции z = f (x, у) по направлению вектора 
называется проекция вектора градиента на направление вектора
. (3.15)
т.е. проекция равна скалярному произведению векторов и 
делить на длину вектора .
(3.16)
Аналогично определяется производная по направлению вектора 
и для функции трех переменных
(3.17)
Пример. Вычислить градиент функции 
в точке М (1,2,4) и производную по направлению 
.
Решение. Вычислим частные производные и найдем градиент функции
(3.18)
Если в выражение (3.8) подставить координаты точки М, то получим градиент функции в точке М
Вычислим производную по направлению вектора
В точке М
Экстремум функции двух переменных.
Ранее была приведена формула Тейлора для функции одной переменной
где 
остаточный член формулы Тейлора, который определяет погрешность, возникающую при замене функции на полином степени n. Преобразуем формулу, обозначив за 
и перенесем 
налево. Тогда
Разность 
есть приращение функции, а 
. С учетом этих значений, получим дифференциальную форму формулы Тейлора (2.24)
Дифференциальная форма справедлива для функции любого числа переменных, в частности, для функции двух переменных,
(3.19)
Здесь
(3.20)
Максимум и минимум функции двух переменных. Мы говорим, что функция двух переменных z = f (x, у) имеет максимум в точке М 0(x 0, y 0), если значение функции в этой точке больше чем во всех соседних точках
f (x 0, у 0) > f (x, у).
Аналогично, в точке минимума М 0(x 0, y 0) значение функции меньше чем во всех соседних точках
f (x 0, у 0) < f (x, у).
Минимум и максимум функции достигаются только внутри области D. Минимумы и максимумы называются экстремумами функции (рис. 3.4).
В точке максимума приращение функции отрицательно для любых соседних точек
Δ f (x, y) < 0 (3.21)
В точке минимума приращение всегда строго положительно
Δ f (x, y) > 0 (3.22)
а б
Рис. 3.4. Максимум (а) и минимум (б) функции двух переменных.
Необходимые условия экстремума. В точке экстремума М 0(x 0, y 0) каждая частная производная первого порядка или равна нулю или не существует. Действительно, если мы зафиксируем у = y 0, то функция f (x, у 0) будет функцией одной переменной х, а для функции одной переменной в точке экстремума первая производная 
или равна нулю или не существует. Аналогично, если х = x 0, то равна нулю или не существует 
.
Точки, в которых обе частные производные равны нулю называются стационарными точками. Для нахождения стационарной точки необходимо решить систему
(3.22)
Не все стационарные точку будут точками экстремума. Условие (3.22) является только необходимым условием экстремума, но не является достаточным.
Достаточные условия экстремума. Теорема. Если в окрестности стационарной точки М0(x 0, y 0) функция z = f (x, у) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, то функция двух переменных имеет экстремум, если
(3.23)
При этом
если 
, то достигается максимум (3.24)
если 
, то достигается минимум. (3.25)
Если 
, то требуется дальнейшее исследование.
Доказательство. Докажем для максимума, для минимума доказательство аналогично.
В стационарной точке обе частные производные равны нулю, следовательно, равен нулю первый дифференциал 
и формула Тейлора начинается со второго слагаемого
В точке максимума приращение Δ f (x, y) строго отрицательно Δ f (x, y) < 0. Следовательно, необходимо определить, при каких значениях вторых производных второй дифференциал сохраняет знак.
Вынесем за скобки положительную величину 
=(Δ у)2, а отношение 
обозначим заt, 
. Получим квадратный трехчлен по переменной t, который сохраняет знак при любом значении t только если его дискриминант отрицателен
Или, сократив на 4 и переставив члены неравенства, получим
Знак квадратного трехчлена совпадает со знаком коэффициента при t 2. Поэтому в точке максимума 
. Теорема доказана.
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию 
.
Решение. Вычислим первые производные и найдем стационарную точку
Вычислим вторые производные
В стационарной точке 
, следовательно, это точка экстремума. Так как zxx ’’ > 0,то это точка минимума.
Если функция задана в ограниченной области, то у нее существую наибольшее и наименьшее значения, которые могут или совпадать с экстремумами или достигаться на границе.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной осью О Y, прямой y = 2 и параболой 
при 
.
Решение. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные 
равны нулю. Решив систему уравнений
найдем две точки О (0; 0) и М (1; 1), в которых обе частные производные равны нулю. Первая из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция z принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке М (1;1). Перейдем к исследованию функции на границе области (рис. 3.5).
На отрезке ОА имеем 
, поэтому на этом отрезке
есть возрастающая функция от одной переменной 
; наибольшее и наименьшее значение она принимает на концах отрезка ОА. На отрезке АВ имеем 
, поэтому на этом отрезке функция
представляет собой функцию одной переменной 
; ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка
Рис. 3.5. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в области.
Находим производную: 
Решаем уравнение 
или 
и находим 
Внутри отрезка 
имеется лишь одна критическая точка 
соответствующей точкой отрезка АВ является точка Q 
. Итак, из всех значений функции 
на отрезке АВ наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках А, Q и В.
На дуге ОВ параболы 
имеем
, 
.
Решаем уравнение 
или 
и находим его корни: 
и 
. Таким образом, из всех значений функции на дуге ОВ наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках О, Р и В.
Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции 
в данной замкнутой области находятся среди ее значений в точках О, А, Q, В, Р, М, т.е. среди значений:
Наибольшее и наименьшее из них равны 12 и -1. Они и являются наибольшим и наименьшим значениями функции в этой замкнутой области: 
Неопределенный интеграл
