Лекции.Орг


Поиск:




Дифференциальные уравнения




Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

 

Пусть x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция этой переменной. y¢, y¢¢,..., y(n) - производные неизвестной функции. Уравнение, связывающее независимую переменную х с функцией y (x) и ее производными до порядка n включительно, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

 

F (x, y, y ¢, y ¢¢,..., y ( n )) = 0.                                                          (6.1)

 

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Дифференциальное уравнение n -го порядка может не содержать некоторые из величин x, y, y ¢,..., y (n -1) или даже все эти величины, но оно обязательно содержит n -ю производную y (n).

Пример 1. y ¢ + 2 y = 0 - уравнение 1-го порядка, так как наивысший порядок производной равен единице.

Пример 2. y (4) - y ¢ = 0 - уравнение 4-го порядка: входят производные 1-го и 4-го порядков, наивысший порядок производной равен 4.

Решение дифференциального уравнения - это функция , которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество:

 

 

Пример 3. Пусть дано уравнение y ¢¢ + y = 0. Проверим непосредственной подстановкой, что функция y = sinx является решением этого уравнения.

 

y ¢= (sin x)¢ = cosx, y ¢¢= (cosx)¢= - sinx.

 

Подставим в уравнение вместо y и y ¢ функции sinx и - sinx:

 

- sinx + sinx º 0.

 

График решения называется интегральной кривой. Задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.

Рассмотрим уравнение n -го порядка, разрешенное относительно старшей производной:

 

y ( n ) = f (x, y, y ¢,..., y ( n -1)).

(6.2)

 

Такая запись уравнения называется видом, разрешенным относительно старшей производной, а функция f (x, y, y ¢,..., y ( n -1)) называется правой частью уравнения.

Предполагаем, что функция f определена, однозначна и непрерывна в некоторой области изменения своих аргументов. Задача нахождения решения y = y (x), удовлетворяющего заданным начальным условиям: при x = x 0

 

y = y 0

y ¢= y 1¢,

...,

y ( n -1) = yn                              (6.3)  

 

где x0, y 0, y 1,..., yn - заданные числа (начальные данные), называется задачей Коши.

Начальные условия можно записать и так:

 

 

Дадим определения общего и частного решений уравнения n -го порядка

 

 

правая часть которого  есть функция определенная и непрерывная в некоторой области G изменения переменных x, y, y ¢,..., y (n -1). Функция

 

y = j (x,C1,C2,...,C n),(6.4)

 

зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных C 1, C 2,..., Cn, называется общим решением уравнения (5.2) в области G, если она удовлетворяет двум условиям:

1) функция (6.4) является решением уравнения (6.2) при любых значениях произвольных постоянных C 1, C 2,..., Cn;

2) каковы бы ни были начальные условия (6.3), существует единственный набор постоянных C 10, C 20,..., Cn 0, такой, что функция y = j (x,C10, C20,..., Cn0) является решением уравнения (6.2) и удовлетворяет начальным условиям (6.3).

 

Чтобы найти решение уравнения (6.2) с начальными данными    (x 0, y 0, y 1, yn ) из области G, если известно общее решение (6.2) поступают следующим образом:

составляют систему уравнений                                                      

 

                                                                       (6.5)                                                                                                     

 

2) решая систему (6.5), находят C 10, C 20,..., Cn 0;

3) подставляют найденные значения произвольных постоянных в общее решение(6.4) и получают искомое решение

 

y = j (x,C10, C20,..., Cn0),

 

которое является искомым единственным решением задачи.

Если общее решение уравнения (6.2) задано в неявном виде

 

Ф (x, y,C1, C2,..., C n) = 0,(6.6)

 

то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Всякое решение, получаемое из общего решения (6.4) при конкретных значениях постоянных C 1 = C 10, C 2 = C 20,..., Cn = Cn 0, называется частным решением уравнения (6.2).

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2018-10-15; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 214 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Наука — это организованные знания, мудрость — это организованная жизнь. © Иммануил Кант
==> читать все изречения...

811 - | 706 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.