Определение определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [ a, b ] задана неотрицательная непрерывная функция f (x). На плоскости XOY, как показано на рис.5.1, график этой функции, отрезок оси абсцисс и прямые x = a и y = b образуют криволинейную трапецию, площадь такой криволинейной трапеции равна S. Разделим отрезок [ a, b ] на произвольные n частей, при этом координаты точек деления удовлетворяют соотношению

 

x ₀ = a < x ₁ < x ₂ <... < x _{i -1}< x _i <... < x _n = b.

 

В точках деления проведем прямые, перпендикулярные оси ОХ. Криволинейная трапеция разделилась на n узких криволинейных трапеций (элементарных трапеций) шириной Δ x _i = x _i - x _i-1 (i = 1, 2,…, n). Площадь каждой такой элементарной трапеции обозначим как Δ S _i.

На каждом промежутке [ x _i-1, x _i] выберем произвольную точку , вычислим в точке  функцию . Каждую i -ю полоску заменим на соответствующий прямоугольник, высота которого равна . Тогда площадь

Рис. 5.1. Криволинейная трапеция.

 

Сумма площадей полученных прямоугольников приближенно равна площади исходной криволинейной трапеции.

 

S» .                                                                                    (5.1)

 

Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна уменьшатся длина наибольшего из разбиений Δ x _i. Эту длину называют рангом дробления и обозначают r, т.е. r = maxΔ x _i® 0 при n ®¥. При этом погрешность при вычислении площади будет стремиться к нулю и в пределе мы получим площадь криволинейной трапеции

 

 = S                                                                      (5.2)

 

Сумму, стоящую в выражении (5.2) называют интегральной суммой.

 

Определение определенного интеграла. Пусть на интервале [ a,b ] задана непрерывная функция f (x). Разделим отрезок [ a, b ] на произвольные n частей, при этом координаты точек деления удовлетворяют соотношению

 

x ₀ = a < x ₁ < x ₂ <... < x _{i -1} < x _i<... < x _n = b.

 

На каждом промежутке [ x _i-1, x _i] (i = 1, 2,…, n) выберем произвольную точку , вычислим в точке  функцию  и умножим на длину интервала Δ x _i = x _i - x _i-1, получим . Просуммируем по всем i, получим интегральную сумму

 

 

Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна уменьшатся длина наибольшего из разбиений Δ x _i, т.е. ранг дробления должен стремится к нулю. Если независимо от способа разбиения отрезка [ a,b ] на части, для функции f (x) существует конечный предел интегральной суммы при n ®¥ и r® 0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x) на интервале [ a,b ], а сама функция f (x) - интегрируемой на [ a,b ].

Для обозначения предельного значения суммы Лейбниц ввел символ " ", как стилизацию начертания буквы S - начальной буквы латинского слова Summa.

 

                                                 (5.3)

 

Читается: "Интеграл от a до b от функции f (x)". Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла. Интеграл существует для всех непрерывных и кусочно непрерывных функци (т.е. имеющих на интервале [ a, b ] только конечное число разрывов первого рода).

Определенный интеграл - есть число! Его значение зависит только от вида функции f (x) и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой.

 

 

Определенный интеграл имеет следующий свойства, вытекающие из определения.

1.                                                                          (5.4)

2.                                                                                (5.5)

3. .                                                           (5.6)

4. .                                                                           (5.7)

 

Свойство аддитивности. Если функция f (x) интегрируема на интервалах [ a, c ] и [ c, b ], a < c < b, то она интегрируема и на интервале [ a, b ], при этом выполняется равенство

 

.                                                  (5.8)

 

Свойство аддитивности имеет наглядный геометрический смысл: оно выражает свойство аддитивности площади, например, плоских фигур (рис. 5.2). Следствие. Если f (x) - нечетная функция, т.е. f (- x) = - f (x), то 

        (5.9)

Если f (x) - четная функция, т.е. f (- x) = f (x), то

   (5.10)

 

Рис. 5.2. Аддитивность определенного интеграла.

 

Линейные свойства определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

                                                                (5.11)

Действительно, по определению

 

.

 

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых. Для суммы двух функций имеем

 

                     (5.12)

Доказательство также основано на определении определенного интеграла

 

 

 

Интегрирование неравенств. Пусть на интервале [ a, b ] функции f (x) и g (x) связаны соотношением (рис. 5.3).Тогда и для интегралов выполняется то же соотношение

.

Рис. 5.3. Интегрирование неравенств. Зеленым обозначена разность площадей криволинейных трапеций.

 

Действительно

 

.

 

Функция непрерывная на замкнутом интервале, по теореме Вейерштрасса, достигает на нем своих наибольшего M и наименьшего m значений . Тогда, определенный интеграл лежит между двумя числами

 

Теорема о среднем. Если f (x) непрерывна на интервале [ a,b ], то на этом отрезке найдется такая точка с, что справедливо равенство

.                                                                      (5.13)

 

Эта формула имеет ясный геометрический смысл (рис.5.4): площадь криволинейной трапеции численно равна площади прямоугольника с тем же основанием, что и трапеция, причем высота прямоугольника равна значению функции f (с) в некоторой точке с, лежащей между а и b. Значение f (c) называется средним значением функции на интервале [a,b] и имеет обозначение

 

Рис. 5.4. Геометрическая интерпретация теоремы о среднем