Теорема. Если функция у (x) = f (x) дифференцируема в своей области определения, то она непрерывна. Обратное не верно: из непрерывности функции дифференцируемость не следует.
Доказательство. Дифференцируемость означает наличие производной
(2.12)
Используем теорему о разности между функцией и ее пределом:
если 
, то
f (x) = A + a (х),(2.13)
где a (х) величина бесконечно малая.
Сравнивая выражения (2.12) и (2.13) получим, что в нашем случае
A 
y’ (x), f (x) 
, 
т.е. = y ’ (x) + a (Δ х). (2.14)
Умножим (2.14) на Δ х
. (2.15)
Из (2.15) следует, что если 
, то и 
, что является доказательством непрерывности функции..
Приведем пример показывающий, что непрерывная функция может быть не дифференцируемой. Возьмем функцию
.
Эта функция непрерывна на всей области определения, так как в точке х 0 = 0 выполняется соотношение
= 
= f (x 0).
Действительно
и 
= f (x 0),
.
Следовательно, в точке 0 функция непрерывна. Но производной в этой точке нет, так как слева при x < 0, y ’(x) = -1, а справа при x > 0 y ’(x) = 1.
Вернемся к формуле (2.15). Дифференциалом df (x) функции f (x) в точке х называется линейная по D x часть приращения функции
df (x) = 
. (2.16)
По определению для независимой переменной Δ х = dx. Поэтому дифференциал функции f (x) записывают чаще так
(2.17)
Формула (2.17) сохраняется и в том случае, когда х зависимая переменная (формула (2.16) для зависимой переменной неверна).
Геометрический смысл дифференциала (рис.2.2).Производная f ¢(x) численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции f (x). Дифференциал 
равен изменению ординаты, касательной к функции в точке N. Замена истинного приращения функции NB D f (x) = f (x + D x) - f (x) на дифференциал СВ 
равносильна замене части графика функции на соответствующую часть касательной к этому графику (см. также рис.2.1).
Производная f ¢(x) является функцией того же аргумента х, что и исходная функция. Поэтому ее можно опять дифференцировать, т.е. вычислять предел отношения приращения производной к приращению аргумента
Рис. 1.2. Геометрический смысл дифференциала
Производные высших порядков. Если этот предел существует и конечен
= 
.
то он называется второй производной от функции f (x) в точке х. Принятое обозначение:
Подобным образом вводят производные n -го порядка f (n)(x) = (f (n-1)(x))¢. В механике вторая производная от пути по времени есть ускорение 
Пример 1. Производные от степенной функции y = х n.
y ¢ = nxn -1,
y ¢¢ = n (n -1) xn -2,
y ¢¢¢ = n (n -1) (n -2) xn -3,
...,
y (k) = n (n -1) (n -2)...(n - k +1) x (n-k) при (к £ n).
Пример 2. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону 
. Найти скорость и ускорение точки в момент времени 
.
Решение. Найдем скорость 
и ускорение а в любой момент времени t
; 
.
При
, 
.
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала
d (df (x)) = (df (x))¢Dx = (f ¢(x)D x)¢D x = f ¢¢(x) (D x)2
Пример. Вычислить производную функции заданной параметрически
Функция 
от независимой переменной 
задана через посредство вспомогательной переменной (параметра t). Производная от по определяется формулой
Находим производные от и по параметру t:
,
,
.
