Рассмотрим тот общий подход к понятию величины, который дает Н.Я. Виленкин. Общий подход к понятию величины он основывает на понятии области определения величины – множестве объектов с заданными в нем отношениями – отношением эквивалентности (например, а ~ в) и отношением «объект а состоит из объектов в и с» (например, отрезок АВ состоит из отрезков АС и СВ). Для простоты мы рассмотрим сначала величины, к которым относятся длина, площадь, объем, масса и т.д. Эти величины, как мы уже знаем, называются аддитивно-скалярными величинами.
Определение 1. Множество W называют областью определения (аддитивно-скалярной) величины, если в нем определены два отношения: бинарное отношение эквивалентности а ~ в (т.е. рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение) и отношение а = в Å с, читаемое «a состоит из в и с».
Говорят, что на множестве W определена операция измерения, если каждому элементу а этого множества можно сопоставить положительное действительное число т (а) – меру а, так, что выполняются следующие условия:
а) из а ~ в вытекает т (а) = т (в), т.е. эквивалентные объекты имеют равные меры;
б) из а = в Å с вытекает т (а) = т (в) + т (с) (аддитивность меры).
Две различные операции измерения т и т1 могут отличаться друг. от друга лишь постоянным множителем, т.е. существует такое положительное число l, что т 1 (а) =l т (а) для всех a Î W.
Другими словами, измерение величины есть отображение f множества W в множество R+ с указанными выше свойствами, а число f (а) называется значением величины для элемента а при данном измерении или его мерой. Причем, если при каком-нибудь измерении для элементов а и в из а ~ в выполняется равенство f (а) = f (в), то это же равенство выполняется и при любом ином измерении этой величины: если f (а) = f (в), то f 1(а) = f 2(в), т.к. f 1(а) =l f 2(а), f 1(в) = l f 2(в). Отсюда вытекает, что в множестве W задано отношение «a и в имеют равные меры», не зависящие от измерения.
Примером области определения величины может служить множество всех отрезков, в котором запись а ~ в означает, что отрезки а и в равны, а запись а = в Å с – что существует точка, разбивающая отрезок а на части в и с.
Операция измерения ставит в соответствие каждому отрезку а его длину т (а), причем, очевидно, выполняются два условия: эквивалентные объекты имеют равные меры и мера отрезка а, состоящего из частей в и с, равна сумме мер этих частей.
Любые две операции измерения длины дают результаты, отличающиеся друг от друга лишь постоянным множителем.
Если W область определения величины, то в нем можно ввести отношение равновеликости, означающее, что f (а) = f (в).
Введенное отношение равновеликости обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, т.е. является отношением эквивалентности, которое разбивает множество W на классы эквивалентности. Отсюда следует определение.
Определение 2. Величиной, заданной отношениями а ~ в и а = в Å с в множестве W, называют разбиение этого множества на классы эквивалентности по отношению «а равновелико в».
Здесь следует отметить, что отношение равновеликости не всегда совпадает с отношением эквивалентности. Например, в случае, когда W состоит из отрезков, отношение равновеликости совпадает с отношением эквивалентности, два отрезка равны в том и только в том случае, когда их длины равны. В случае площадей дело обстоит иначе – две фигуры могут иметь равные площади, не будучи равными.
Контрольные вопросы и упражнения
1. Проведите аналогию между аксиоматическими определениями скалярной положительной величины по А.Н. Колмогорову и Н.Я. Виленкину.
2. Что называется мерой величины а при заданной единице е (по А.Н. Колмогорову)?
3. Как определена операция измерения величины по Н.Я. Виленкину?
4. Дайте определение понятия измерения величины через понятие «Отображение».
5. Убедитесь в выполнении аксиом А.Н. Колмогорова для величины «длина».
Учебное издание
Римма Валеевна Канбекова,
доктор педагогических наук, профессор
МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс для бакалавров по направлению подготовки
«050100 – Педагогическое образование. Профиль: Начальное образование»
Зав. редакцией М.Н. Арсланова
Редактор отдела Г.У. Халилова
Компьютерная верстка Р.В. Канбековой, Г.У. Халиловой
Редактор В.Ш. Галимов
Автор несет ответственность за достоверность
материалов, изложенных в книге
Подписано в набор 26.06.2012 г. Подписано в печать 02.07.2012 г.
Подписано в свет 05.07.2012 г. Формат 60х841/8.
Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 24,0.
Печать оперативная. Усл. печ. л. 24,1.
Тираж 300 (1-й завод 100) экз. Цена договорная.
Гарнитура «Times». Заказ № / 12.
Редакционно-издательский отдел Стерлитамакской государственной
педагогической академии им. Зайнаб Биишевой: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.
Отпечатано в полиграфическом участке Стерлитамакского филиала
Башкирского государственного университета: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.
[1] Леонард Эйлер (1707-1783) – российский математик,
Джон Венн (1834-1923) – английский ученый.
[2] Август де Морган (1806-1871) – английский логик.
[3] Блэз Паскаль (1623-1662) – французский математик
[4] Джузеппе Пеано (1858-1932) – итальянский математик и логик
