Изображение цилиндра и конуса

По сравнению с многогранниками круглые тела (цилиндр, конус, шар) труднее поддаются изображению. Особенно это относится к шару.

1) Изображение цилиндра.

Напомним основные понятия и параметры, связанные с цилиндром. Основные понятия: основание, радиус основания, ось, высота, образующая, осевое сечение, боковая и полная поверхности. Соответственно параметры: радиус основания, площадь основания, высота (равна образующей), площадь осевого сечения, площади боковой и полной поверхности, объем цилиндра. Любые два из перечисленных параметров, кроме пар: радиус основания и площадь основания, площадь осевого сечения и площадь боковой поверхности, задают цилиндр.

 

У прямого кругового цилиндра основаниями являются круги. Окружности этих кругов изображаются равными эллипсами с соответственно параллельными большими осями. Отрезок, соединяющий центры этих эллипсов, является изображением высоты цилиндра, лежащей на его оси симметрии (рис. 1). Образующие цилиндра параллельны и имеют равные длины. Из свойств параллельной проекции следует, что они должны изображаться параллельными и равными отрезками с концами на этих эллипсах. Контурные

образующие изображения цилиндра (касательные к эллипсам) принято изображать в виде вертикальных отрезков. Они разделяют боковую поверхность цилиндра на видимую и невидимую части.

2) Изображение конуса.

Для конуса (в дополнение к основным понятиям цилиндра) добавляются: угол наклона образующей конуса к плоскости основания и угол при вершине осевого сечения, т.е. угол между двумя диаметрально противоположными образующими. Как и цилиндр, конус задается двумя независимыми параметрами Основанием конуса является круг. Его окружность изображается в виде эллипса (рис. 2). Затем строят изображение высоты конуса. Её принято изображать в виде вертикального отрезка. Выбрав на изображении высоты конуса вершину S (согласно теореме Польке-Шварца этот выбор произволен), проводят из неё касательные к эллипсу, которые являются изображением контурных образующих. Точки касания этих контурных образующих делят эллипс на две неравные части (видимую и невидимую), поэтому и боковую поверхность они делят на неравные части.

Изображение шара

Изображение шара.

Границей шара является сфера. Пересечение сферы с плоскостью, проходящей через центр шара, есть большая окружность, в дальнейшем одну из таких окружностей условимся называть экватором. Диаметр шара, перпендикулярный плоскости экватора, назовём осью сферы, его концы – полюсами сферы.

При проектировании сферы на плоскость проекций проектирующие прямые, касательные к сфере, образуют цилиндрическую поверхность (рис. 3). Если плоскость проекций П ₁ не будет перпендикулярна оси этой поверхности, границей проекции сферы (очерком сферы) будет эллипс. Но такая проекция сферы не является наглядной. Если же плоскость сферы перпендикулярна оси цилиндрической поверхности, то проекцией сферы будет круг. При этом центром контурной окружности (очерка сферы) является проекция центра сферы, а ее диаметр равен диаметру сферы.

Такая проекция легко ассоциируется с наглядным представлением о сфере, и ее легко строить, но поэтому в школьной практике при изображении сферы принято пользоваться ортогональной проекцией (т.е. такой, когда проектирующая прямая т перпендикулярна плоскости проекций П).

Очевидно, если на этом же чертеже надо изобразить какие-то фигуры, то их изображение также должно быть выполнено в ортогональной проекции, так как каждый чертеж выполняется в одной проекции.

Чтобы изображение сферы сделать более наглядным, передать ее выпуклость, помимо контурной окружности изображают какую-либо окружность большого круга, а также полюсы, соответствующие экватору.

Обычно плоскость экватора берут не перпендикулярной плоскости проекции П, так как в противном случае окружность большого круга изобразится отрезком, а полюсы окажутся на контурной окружности, и изображение будет недостаточно наглядным.

Если экваториальная плоскость составляет с плоскостью проекции угол j (j < 90°), то ортогональной проекцией экватора будет эллипс (рис. 4), большая ось которого есть диаметр сферы. [ АВ ] – это общий диаметр экватора и контурной окружности. Поэтому на изображении проекция экватора должна касаться контурной окружности в точках А и В.

Второй диаметр экватора [ С ' D ¢] спроектируется в малую ось [ СD ]эллипса, причем СD = АВ соs j.

Ось сферы и диаметр [ С'D' ] лежат в одной плоскости, перпендикулярной к плоскости экватора. В связи с этим ось сферы изобразится отрезком, содержащим малую ось эллипса [ СD ] и перпендикулярным диаметру [ АВ ]. Особенно часто допускаются ошибки при изображении полюсов. Их положение на изображении зависит от отношения длин осей эллипса, которым изображается экватор, и, наоборот, от положения полюсов на изображении зависит отношение длин осей экватора.

Если полюсы изобразить на контурной окружности, то экватор изобразится в виде отрезка. Если экватор изобразить в виде эллипса (что и делается на практике), то полюсы будут находиться внутри контурной окружности.

Имея изображение экватора, можно построить изображение полюсов. Для того, чтобы установить, как это сделать, представим себе, что на рисунке изображена сфера, а эллипс АВСD – есть изображение экватора.

Плоскость изображений будем считать проходящей через центр сферы. Вообразим проектирующую (профильную) плоскость, проходящую через диаметр [ С'D' ] и ось сферы.

Повернем эту плоскость на 90° вокруг линии ее пересечения с плоскостью изображений до совмещения с последней. Тогда изображение контура сферы не изменится.

Образ точки С ¢ ₁ оригинала на контурной окружности при данном перемещении обозначим С ₁. Соединим точку С ₁ с центром сферы. Ось сферы в этом случае изобразится отрезком [ S ₁ N ₁]^[ OC ₁] (рис. 4). Из точки N ₁ проведем прямую (N ₁ N) || (AB) и получим изображение полюса N. Аналогично получается изображение полюса S.

Замечаем, что прямоугольные треугольники СОC ₁ и ON ₁ N равны. Отсюда следует, что [ ON ] = [ СC ₁]. Это даeт простой способ построения полюсов на изображении без дополнительных построений.

Проводим касательную (СС ₁) к эллипсу, а затем откладываем [ ОN ]=
= [ OS ] = [ CC ₁] напрямой, перпендикулярной к [ АВ ] и проходящей через точку О, т.е. на оси изображения сферы.

Наоборот, если на оси сферы отмечены полюсы, то, пользуясь равенством [ N ₁ N ] = [ ОС ], можно построить диаметр СD, а затем по сопряженным диаметрам и экватору – эллипс АВСD.

Контрольные вопросы и упражнения

1. 1) Выполните изображение шара, конуса, цилиндра. В чем их сходство? Чем они различаются? 2) Если Вам трудно определить сходство фигур, подумайте, что произойдет с каждой из них, если ее толкнуть. 3) Может ли у этих фигур быть больше признаков сходства? 4) Постарайтесь найти разные варианты решения проблемы.

2. Выполните изображение следующих объемных тел: 1) трех конусов с различными радиусами оснований и разными высотами; 2) трех четырехугольных пирамид с разными основаниями и высотами; 3) тетраэдра; 4) треугольной и четырехугольной прямой призмы; 5) прямого цилиндра. Перенумеруйте выполненные изображения. Чем похожи все фигуры? Чем отличаются?

3. Постройте изображение: а) цилиндра; б) конуса; в) шара. Постройте осевое сечение на каждом из этих изображений.