Процесс решения задачи на построение происходит по определенной схеме: а нализ, построение, доказательство, исследование. Эту схему не следует рассматривать как безусловно необходимую и неизменную. Не всегда целесообразно строго расчленять решение задачи на отдельные этапы и осуществлять их в указанном порядке. Допустимы и часто естественны отклонения от указанной схемы в соответствии с конкретными особенностями той или иной задачи на построение. Перейдем к рассмотрению каждого этапа.
Анализ – это поиск способа решения задачи на построение. На этом этапе устанавливают зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру (если заведомо ясно, как строить искомую фигуру, то анализ уже не нужен). Обычно при анализе выполняют от руки, на глаз, вспомогательный чертеж-набросок, изображающий данные и искомые фигуры примерно в том расположении, которое предусмотрено условием задачи. На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи. В общем случае рассуждение ведется следующим образом: подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению некоторой другой фигуры Ф 1. Затем подмечают, что построение фигуры Ф 1 сводится к построению какой-то фигуры Ф 2 и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Фn, способ построения которой известен.
При проведении анализа полезны следующие замечания:
1) Если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. Иногда полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.
2) Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует ввести в чертеж, т.е. следует изобразить их на чертеже-наброске, если их еще нет на нем.
3) В процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решенные задачи, в которых встречаются зависимости, встречающихся в условии рассматриваемой задачи.
4) Проведя анализ на основании изучения некоторого чертежа-наброска, мы невольно рассуждения связываем с этим чертежом, поэтому может оказаться, что найденный способ решения пригоден лишь для некоторых частных случаев.
Чтобы способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, следует изображать искомую фигуру в возможно более общем виде. Например, искомый треугольник, если в условии задачи нет специального указания о его форме, надо изображать как разносторонний, четырехугольник – как неправильный и т.п. Чем более общий случай разобран при анализе, тем проще будет провести в дальнейшем полное решение задачи.
Построение состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или ранее решенных задач), которые достаточно выполнить, чтобы искомая фигура была построена. Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.
Цель доказательства – установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям. Доказательство обычно проводят в предположении, что каждый шаг построения может быть выполнен.
В исследовании нужно выяснить следующие вопросы:
- всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;
- можно ли и как построить искомую фигуру, если выбранный способ применить нельзя;
- сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.
Таким образом, цель исследования – установить условия разрешимости и определить число решений. Необходимую полноту исследования можно достичь, если проводить это исследование по ходу построения.
