1. В школьной геометрии встречаются понятия, содержание и смысл которых раскрывается в других науках, например в философии, логике, в других математических дисциплинах. Таковы понятия: «существует», «множество», «принадлежит множеству», «понятие», «определение», «умозаключение», «доказательство», «число», «уравнение» и т.д.
В рамках геометрии эти понятия не определяются. Их смысл и содержание считаются известными.
Наряду с этим элементарная геометрия содержит также определения большего числа различных геометрических фигур (например, определение ромба, пирамиды, скрещивающихся прямых, диаметра шара и др.).
Поскольку каждое новое понятие в геометрии (в математике) определяется через ранее рассмотренные понятия, то ясно, что определить все без исключения понятия невозможно. Поэтому при любом построении курса геометрии приходится явно или неявно выделять несколько геометрических понятий, которые вводятся в курс без определения. Так, например, нигде в школьном учебнике геометрии мы не найдем определения терминов: «точка лежит на прямой» (или на плоскости), «точка лежит между двумя точками» и т.д.
Геометрические понятия, которые применяются при том или другом конкретном построении курса школьной геометрии без определения, называют первичными (основными, неопределяемыми) в данной системе изложения. При тщательном построении курса элементарной геометрии необходимо четко выделять те понятия, которые будут даны без определения. Не давая определения первичным понятиям, в то же время всегда подразумевается, что эти понятия обладают какими-то известными свойствами, что между этими понятиями существуют некоторые «само собой разумеющиеся» связи и зависимости.
Предложение, устанавливающее связь между первичными понятиями элементарной геометрии и принимаемое без доказательства, называют аксиомой элементарной геометрии.
Некоторые из аксиом сформулированы в школьном учебнике геометрии явно, например: «Через любые две точки можно провести прямую, и только одну». Мы не будем здесь приводить полный список аксиом. Посмотрите их в школьных учебниках (например, А.В. Погорелов «Геометрия 6-10»).
После того как неопределяемые понятия выделены, следует всем остальным геометрическим понятиям давать определения. Определение, как и аксиома, тоже предложение, принимаемое без доказательства. Определение тоже устанавливает связь между понятиями, но определение вводит новое понятие, между тем как аксиома говорит о связи только между такими понятиями, которые были приняты как первичные. Определяемые понятия составляют, естественно, подавляющее большинство в списке понятий элементарной геометрии. При введении каждого нового понятия необходимо тем или иным способом убедиться в его существовании. При формулировке определений необходимо проявлять осторожность, чтобы не определять неизвестное понятие через такие понятия, которые ранее не были определены и которые не содержатся среди первичных понятий.
Сама совокупность аксиом составляет, по существу, косвенное, неявное определение первичных понятий. Все, что необходимо знать о первичных понятиях для построения курса геометрии, должно быть сказано в аксиомах.
При различных способах построения курса геометрии в качестве первичных могут быть приняты различные понятия. Понятия, которые являются первичными при одном способе построения курса геометрии, могут оказаться определяемыми при других способах построения этого курса. В зависимости от выбора первичных понятий меняется и список аксиом. Так, например, возможно построить весь курс геометрии на основании таких понятий «точка», «прямая», «плоскость», «принадлежит», «лежит между», «движение», «построить фигуру». Такой подход близок к принятому в средней школе способу построения курса геометрии.
2. Помимо определений и аксиом, в элементарной геометрии формулируются и другие предложения относительно геометрических понятий.
Каждое утверждение относительно геометрических понятий, справедливость которого устанавливается посредством некоторого рассуждения, называется в геометрии теоремой. Рассуждение, с помощью которого убеждаются в справедливости теоремы, называется доказательством. Сущность его заключается в том, что теорема выводится из аксиом, определений и ранее доказанных теорем, т.е. представляется как их логическое следствие. Геометрические теоремы часто формулируются в так называемой силлогистической форме, т.е. в таком виде, в котором явно выделено условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать). Например: «Если две различные плоскости перпендикулярны одной прямой, то они параллельны». Общая схема теоремы, сформулированной в силлогистической форме, имеет следующий вид: «Если А, то В».
3. В элементарной геометрии содержится большое количество задач. Для успешного решения геометрических задач необходимо свободное владение теоретическим материалом. Заметим, что некоторые утверждения, содержащиеся в школьном учебнике в форме задач, в других учебных пособиях по элементарной геометрии могут быть доказаны как теоремы, так как они часто используются в решении задач.
При решении геометрических задач часто не обойтись без чертежа. Чертеж – это удобный для восприятия наглядный способ записи условия задачи, он может стать помощником в решении задачи, подсказать правильный ход рассуждений. При этом ясно, конечно, что даже самый аккуратный чертеж сам по себе ничего не доказывает. Все, что «увидено» из чертежа, должно быть обосновано соответствующим логическим выводом.
Геометрические задачи условно можно поделить на три типа: на вычисление, на доказательство, на построение. По условию задачи нетрудно определить, к какому типу она относится.
Среди этих типов задачи на построение являются самыми древнейшими геометрическими задачами. Хотя сегодня этот тип задач выглядит несколько архаично, надуманно, однако он введен и в программу школьной геометрии, и в программу математики на факультетах педагогики и методики начального образования.
Подробно задачи на построение рассматриваются в последующих параграфах этой главы.
