Задачи на построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки

Определение. Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какими инструментами, какую геометрическую фигуру требуется построить (начертить на плоскости) так, чтобы эта фигура удовлетворяла определенным условиям.

Средствами построения будем считать циркуль и одностороннюю линейку. Задача на построение может быть выражена с помощью чертежа-задания. Чертеж-задание включает в себя данные фигуры и требование задачи. Чертеж-задание выделяет из элементов плоскости данные элементы. При этом возможны два случая: 1) данные элементы являются уже построенными, 2) данные элементы лишь могут быть построены, в этом случае подразумевается, что элементы могут быть построены «в любом месте» плоскости.

Решить задачу на построение при помощи циркуля и линейки – значит свести ее к конечной совокупности пяти элементарных построений (обозначаемых далее П1-П5), которые заранее считаются выполнимыми. Перечислим их.

П1. Если построены две точки А и В, то построена прямая АВ, их соединяющая, а также отрезок АВ и любой из лучей АВ и ВА (аксиома линейки).  

П2. Если построена точка О и отрезок АВ, то построена окружность с центром в точке О и радиусом АВ, а также любая из дуг этой окружности (аксиома циркуля).

П3. Если построены две прямые, то построена точка их пересечения (если она существует).

П4. Если построены прямая и окружность, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).

П5. Если построены две окружности, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).

Эти элементарные построения называют постулатами или аксиомами построения.

Сведение решения каждой задачи к постулатам делает его громоздким. Поэтому часто решение задачи, наряду с постулатами, сводят к так называемым основным построениям (ОП). Выбор некоторых построений в качестве основных в известной мере произволен, он зависит от того, какие задачи на построение предполагается далее решать.

Перечислим задачи, которые являются основными построениями в нашем изложении.

ОП1. Деление данного отрезка пополам.

ОП2. Деление данного угла пополам.

ОП3. Построение на данной прямой отрезка, равного данному.

ОП4. Построение угла, равного данному.

ОП5. Построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

ОП6. Построение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

ОП7. Деление отрезка в данном отношении.

ОП8. Построение треугольника по трём сторонам.

ОП9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

ОП10. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

ОП11. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

ОП12. Построение касательной к окружности, проходящей через данную точку.

Итак, решение каждой задачи из перечисленных выше основных построений ОП1 – ОП12 может быть сведено к конечной последовательности постулатов построения. Условимся считать, что для исключения повтора и достижения компактности при оформлении решения задач ОП1-ОП12 разрешается ссылка, наряду с постулатами, на предыдущие основные построения.

Рассмотрим, например, как выполняются основные построения: деление данного отрезка пополам (ОП1) и построение касательной к данной окружности (ОП12). Остальные основные построения читателю предлагается выполнить самостоятельно.

ОП1. Деление отрезка пополам.

Решение. Пусть дан отрезок [ АВ ]. Проведем окружности S ₁ с центром в точке А и радиусом [ АВ ] и S ₂ с центром в точке В и радиусом [ АВ ] (это можно выполнить согласно постулату 2 (П2)). Найдем точки пересечения окружностей S ₁ и S ₂, обозначим их С, D. (Это можно выполнить согласно постулату 5 (П5)). Соединим точки С и D отрезком (это можно выполнить согласно постулату 1 (П1)). Найдем точку пересечения отрезка [ АВ ] и прямой (С D) и обозначим ее буквой О (это можно выполнить согласно постулату 3 (П3)). Точка О – середина отрезка [ АВ ] (рис. 1).

Доказательство. Проведем отрезки [ АС ], [ А D ],[ ВС ],[ В D ]. Треугольники АСО и ВСО равны (докажите). Значит,[ АО ]= [ ОВ ].

ОП12. Построение касательной к окружности, проходящей через данную точку.

Решение. Рассмотрим 2 случая: 1) данная точка А находится на окружности; 2) данная точка А находится вне круга.

Первый случай. Известно, что прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная радиусу [ OA ], является касательной к окружности S с центром О и радиусом [ OA ].

Поэтому задача сводится к построению прямой р так, чтобы А Î р ^ [ OA ]. (Это можно выполнить согласно ОП6). Тогда эта прямая будет искомой. (рис. 2). Задача имеет только одно решение. Действительно, касательная, проходящая через точку А должна быть перпендикулярна прямой ОА (по свойству касательной), а через точку А проходит только одна прямая (прямая р), перпендикулярная к прямой (ОА).

 

 

Второй случай. Допустим, что задача решена и (АВ) – искомая касательная к окружности S с центром в точке О и радиусом [ ОВ ] (рис. 3). Так как прямая (АВ)должна быть перпендикулярна радиусу [ ОВ ], то решение задачи сводится к построению точки В окружности, для которой Ð АВО прямой. Отсюда следует способ построения касательной: строим отрезок [ ОА ] (постулат 1), находим его середину – точку О₁ (ОП1). Строим окружность S ₁ с центром в точке О ₁ и радиусом [ О ₁ А ] (постулат 2). Находим точки пересечения окружностей S и S ₁ (постулат 5) и обозначим В, В ₁.

Проведем прямые АВ и АВ ₁ (постулат 1). Они будут касательными, так как (АВ) ^ [ ОВ ] и (АВ ₁) ^ [ ОВ ₁]. Действительно, углы АВО и АВ ₁ О, вписанные в окружность S ₁, опираются на полуокружности, поэтому они прямые. Из построения видно, что задача имеет два решения, т.е. через внешнюю относительно окружности точку всегда можно провести две касательные.