Понятие измерения величины

Сравнивая величины непосредственно, мы можем установить их равенство или неравенство. Чтобы получить более точный результат сравнения, например узнать, на сколько масса одного тела больше массы другого, необходимо величины измерить. Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей – другой, для масс – третий и т.д. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определенное численноезначение привыбранной единице.

Вообще если дана величина а и выбрана единица величины е, то в результате измерения величины а находят такое действительное число х, что а = х × е. Это число х называют численным значением величины а при единице величины е.

Символически записывают так: х = т_е (а).

Согласно определению любую величину можно представить в виде произведения некоторого числа и единицы этой величины. Например, 5 кг = 5 · 1 кг, 12 см = 12 · 1 см, 3 ч = 3 · 1 ч.

Используя это, а также определение умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы измерения величины к другой.

Дана некоторая величина а. Пусть е ₁ и е ₂ – две единицы измерения величины, которые между собой связаны так: е ₁= пе ₂,где п Î R₊, пусть (а) = р, т.е. а = p × e ₁. Подставим вместо е₁ его значение через е₂, получим: а = р × п × е_2,  т.е. (а) = р × п.

Итак, т_е2(а) = т_{е 1}(а) × т_{е 2}(е ₁).

П р и м е р ы.

  .

.

Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими являются длина, площадь, объем, масса и др.

Кроме скалярных величин, в математике рассматривают еще векторные величины. Для определения векторной величины необходимо указать не только ее численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля и др.

В нашем курсе мы будем рассматривать только скалярные величины и причем такие, численные значения которых положительны.

Измерение величин позволяет свести их сравнение к сравнению чисел, операции над величинами к соответствующим операциям над числами.

1. Если величины а и в измерены при помощи е, то выполняются следующие соотношения:

а = в Þ т_е (а) = т_е (в).

а > в Þ т_е (а) > т_е (в).

а < в Þ т_е (а) < т_е (в).

Например, если массы двух тел таковы, что а = 5 кг, в = 3 кг, то можно утверждать, что масса       а больше массы в, поскольку 5 > 3.

2. Если величины а и в измерены при помощи единицы величины е, то, чтобы найти численное значение суммы а + в, достаточно сложить численные значения величин а и в:

а + в = с Þ т_е (а + в) = т_е (а) + т_е (в).

Например, если а = 15 кг, в = 12 кг,то а + в = 15 кг + 12 кг = (15 + 12) кг = 27 кг.

3. Если а, в величины, измеренные при помощи единицы величины е, х Î R₊,

 то в = х а Þ т_е (в)= х × m_е (а).