План:
§ 1. Уравнение с одной переменной
§ 2. Теоремы о равносильности уравнений
Уравнение с одной переменной. Равносильные уравнения
Определение. Пусть заданы два выражения f (х)и j(х), содержащие переменную х, которая принимает значения из некоторого множества Х. Назовем уравнением одноместный предикат
f (х)= j(х), х Î Х.
Определение. Решить уравнение – значит найти все значения переменной х, при постановке которых в уравнение получается истинное равенство, т.е. найти множество корней уравнения.
Прежде чем решать уравнение f (х)= j(х), нужно найти область допустимых значений переменной х (область определения уравнения), обозначаемое А. Для простоты дальнейших рассуждений, примем А = Х.
Определение. Два уравнения f (х)= j(х), и F (x) = G (x), имеющие одну и ту же область определения, называют равносильными, если их множества решений равны, т.е. если каждое решение первого уравнения является решением второго уравнения, и наоборот, всякое решение второго уравнения удовлетворяет первому.
С логической точки зрения уравнения f (х)= j(х) и F (x) = G (x) равносильны, если эквивалентны эти предикаты.
Рассмотрим два уравнения:
х 2 – 1 = 0 (1)
(х 2 – 1)(2 х – 1) = 0 (2)
Импликация х 2– 1 = 0 Þ (х 2– 1)(2 х – 1) = 0истинна при любых значениях х.
Дело в том, что множество решений уравнения (1) есть подмножество множества решений (2), т.е. {1, –1} Ì {1, –1, 
}. В таком случае говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).
Итак, если множество решений уравнения f (х) =j(х) 
является подмножеством множества решений уравнения F (x) = G (x)(**), то уравнение (**) называют следствием уравнения (*). Иными словами (**) есть следствие уравнения (*), если каждый корень уравнения (*) удовлетворяет уравнению (**). Теперь можно дать еще одно определение равносильности уравнений.
Определение. Два уравнения равносильны, если каждое из них является следствием другого.
Проще всего найти решение уравнения х = а, множество его решений состоит из единственного числа а. Поэтому при решении уравнений их стараются заменить равносильными им уравнениями, имеющими более простой вид, пока не придут к уравнению вида х = а или дизъюнкции х = а 1Ú х = а 2Ú х = а 3 Ú …Ú х = аn таких уравнений. Тогда множеством решений последнего уравнения является Т = { 
}. Иногда приходится переходить от данного уравнения не к равносильному уравнению, а к его следствию. При этом множество решений расширяется и потому требуется в конце проверить все найденные корни, подставив их в исходное уравнение. Например, нужно решить уравнение 
, тогда:
= 
Þ х 
– 2 = х Û х – х – 2= 0Û х 1, 2= 
Þ х 
=–1 Ú х 3 = 2.
После проверки получим ответ: {2}.
