Уравнения с двумя переменными

Уравнение, содержащее две переменные х, у, является двухместным предикатом. Например, 5 х + 10 у = 27уравнение с переменными х, у. Пара чисел (а, в) называется решением этого уравнения, если при замене х на а и у на в получаем истинное равенство. Например, пара чисел (1,4; 2) удовлетворяет приведенному уравнению, т.к. 5 × 1,4 + + 10 × 2 = 27. Это уравнение имеет и другие решения.

Каждому уравнению с двумя переменными соответствует множество его решений, т.е. множество, состоящее из всех пар чисел (а, в), при подстановке которых в уравнение получается истинное равенство. При этом, конечно, если заранее указаны множества Х и Y, из которых могут принимать значения переменные х и у, то надо брать лишь те пары (а, в), для которых а Î Х, в Î Y.

Известно, что пару чисел (а, в) можно изобразить на плоскости точкой М, имеющей координаты (а, в).

Если изобразить каждое решение уравнения с двумя переменными точкой, получим некоторое множество точек координатной плоскости. Его называют графиком уравнения.

Обычно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений, а потому его график содержит бесконечно много точек. Построить их, отмечая одну за другой, невозможно. Поэтому прибегают к геометрическому способу описания.

При этом все точки плоскости разбиваются на два множества: одно множество – это график заданного уравнения, а другое множество состоит из остальных точек плоскости, и следовательно, ни одна точка этого второго множества не удовлетворяет заданному уравнению. Поэтому, каждая задача, связанная с нахождением графика некоторого уравнения, требует доказательства двух утверждений: прямого и обратного. В некоторых случаях обратное утверждение очевидно, поэтому его можно опустить. В других случаях, обратное утверждение требует доказательства.

П р и м е р.

Множество решений уравнения  у – х = 0состоит из всех пар чисел (а, в), в которых первая координата равна второй, т.е. из пар вида (а, а), а Î R. Отметим несколько точек вида М (а, а) на плоскости. Ясно, что эти точки лежат на прямой, проходящей через начало координат и наклоненной к оси абсцисс под углом 45⁰.

Докажем, что все точки графика уравнения у – х = 0 лежат на этой прямой.

В самом деле r ОМР равнобедренный, т.к. абсцисса равна ординате. Ð МОР = Ð РМО = 45⁰, т.е. точки лежат на прямой, наклоненной под углом   45⁰. И обратно, если

 

r ОМР имеет Ð МОР = 45⁰, значит он равнобедренный, у точки М абсцисса равна ординате (рис. 1).

Два уравнения с двумя переменными, имеющие одинаковые графики, называют равносильными.

Теоремы 1 и 2, которые мы доказали для уравнений с одной переменной, можно доказать и для уравнений с двумя переменными:

f (х, у) =j(х, у) Û f (х, у)+ w(х, у) = j(х, у) + w(х, у)и

f (х, у) = j(х, у) Û f (х, у) × w(х, у) = j(х, у) × w(х, у).

Уравнение окружности

Теорема. Графиком уравнения (1) ²= r является окружность с центром А (а, в) и радиусом r.

Доказательство. Пусть М (х, у) лежит на окружности, тогда  = r = . Значит, все точки окружности принадлежат графику уравнения (1).

Обратно, пусть М (х, у) принадлежит графику уравнения (1), т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению ² = r, это значит, что М лежит на окружности.

Уравнение (1) можно переписать в виде (х – а)²+ (у – в)² = r ². Например, уравнение окружности с центром (1; –3) и радиусом 2 записывается так: (х – 1)² + (у + 3)²= 4;уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1 – это: х ² + у ² = 1.