Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств

Определение. Два числовых выражения А и В, соединенных знаком «>» (больше) или «<» (меньше) образуют числовое неравенство. Неравенства А > B и C > D (или А < B и C < D) называются неравенствами одинакового смысла (знака), а неравенства А > B и C < D (или А < B и C > D) – неравенствами противоположного смысла.

С логической точки зрения числовое неравенство представляет собой высказывание И или Л. Например: 12 · 3 > 10 – И; 12 + 14 < 15 – Л. К числовым неравенствам применимы логические операции, в частности, можно образовать конъюнкцию и дизъюнкцию числовых неравенств:

(2 < 3) Ù (5 < 3) – Л; (3 < 5) Ú (1 + 1 > 3 + 1) – И.

Неравенство А £ В является дизъюнкцией равенства А = В и неравенства А < В,
т.е. А £ В Û (А < B) Ú (А = В), например,

(2×4 + 15) × 2 £ 35 + 19 – И.

Двойное неравенство А < В < С является конъюнкцией неравенств А < В и В < С. Оно истинно в том и только в том случае, когда истинны оба эти неравенства. Например, рассмотрим конъюнкцию неравенств (25 < 18 + 17 × 2) Ù (18 + 17 × 2 < 100). Её можно переписать в виде двойного неравенства: 25 < 52 < 100. Прежде всего отметим, что неравенство («<», «>») обладает свойствами отношения строгого порядка:

1°. Антирефлексивность (" А) [ ],

(" А) [ ];

2°. Антисимметричность (" А, В)[ А < В Þ ],

                              (" А, В)[ А > В Þ ];

3°. Транзитивность   (" А, В, С) [ А < В Ù В < С Þ А < С ],

                              (" А, В, С) [ А > В Ù В > С Þ А > С ].

В свойствах 1°–3° А, В, С –любые числовые выражения.

Кроме приведенных выше свойств 1°–3° в качестве основных примем следующие свойства для любых двух действительных чисел x и y:

1) , причем имеет место одно и только одно из отношений либо x = y,либо x > y, либо y > x;

2) (" х, у)[ x < y Û y – x > 0];

3) (" х, у)[ x > 0 Ù y > 0 Þ x + y > 0 Ù x × y > 0].

Заметим, что неравенство y > x эквивалентно неравенству x < y – оба неравенства одновременно истинны или ложны. Знаки «>» и «<» взаимно обратны.

Из указанных выше свойств 1)-3) можно вывести для любых числовых выражений x, y, a, в все остальные свойства числовых неравенств.

1°. (" x, y, a) [ x < y Þ x + a < y + a ].

Доказательство. x < y Û y – x > 0Þ (y + a) – (x + a) = y – x > 0 Þ

Þ x + a < y + a. Точно также x – a < y – a.

2°. (" x, y, a, в) [ x < y Ù a < в Þ x + a < y + в ].

Доказательство. x < y Þ y – x > 0,  a < в Þ в – а > 0.

(у – х) + (в – а) = (у +в) – (х +а)> 0 Þ х +а < у +в.

3°. (" х, у, а > 0) [ х < у Þ х · а < у · а ].

Доказательство.

х < у Þ у – х > 0 Þ а (у – х) > 0 Þ ау – ах > 0 Þ ау > ах Û ах < ау.

4°. (" х > 0," у > 0," а > 0," в > 0) [ х < у Ù а < в Þ ах < ву ].

Доказательство. х < у Ù а > 0 Þ (у – х)× а > 0 Û х · а < у · а.

а < в Ù у > 0 Þ ау < ву.   (ха < уа) Ù (уа < ву) Þ ха < ув Û ах < ву.

5°. (" х, у)[ х < у Þ –х > –у ].

Доказательство. х < у Þ у – х > 0. у – х = (– х) – (– у) > 0 Þ – х > – у.

6°. (" х, у, а < 0) [ х < у Þ ах > ау ].

Доказательство. х < у Þ   · х <   · у Þ–   · х >–   · у, т.е. ах > ау.

7°. (" х, у Ù 0 < х < у либо х < у < 0) [ < ].

Доказательство.  –  = , в полученной дроби числитель у – х > 0 и знаменатель х · у > 0, значит  > 0 и  > .

Выражения с переменными

Наряду с числовыми выражениями рассматривают выражения с переменными. Они определяются также как числовые выражения, только кроме чисел, выражения с переменными содержат и буквы. Например, 2 а + 3 в; 5 х + 18; 4 у – 9 и т. д. Если для каждой буквы указано некоторое множество числовых значений, которые может принимать эта буква, то ее называют числовой переменной.

Определение. Областью определения выражения с переменной называют множество, состоящее из чисел, которые можно подставлять в выражение, т. е. множество чисел, при которых это выражение имеет определенное числовое значение.

Выражение с переменными не является предикатом, т.к. при подстановке вместо букв числовых значений получается не высказывание, а числовое выражение. Значением этого выражения является не истина или ложь, а некоторое число.

Обозначают выражение с переменной А (х), В (х, у) и т. д.

Рассмотрим п р и м е р ы.

1) найти область определения выражения:  + .

Областью определения является (–¥,1)  (1, 6)  (6, +¥).

2) . Область определения этого выражения определяется из неравенства х +10 0 Þ х   –10,т.е. [–10, ¥).

3) если в задаче речь идет о людях, то, составляя выражения с переменной, уже имеют в виду, что областью определения данного выражения с переменной является множество N.

4) Область определения выражения 5 х + 5 у + 10 совпадает с множеством действительных чисел.

Определение. Два выражения с переменными называют тождественно равными, если они принимают одинаковые значения при любых допустимых значениях, входящих в них букв.

Например, выражения (х + у)²и (х ²+ 2 ху + у ²) тождественно равные на множестве R.

Выражения  и  тождественно равные на множестве R \{0}.

Основные понятия переменной и выражения с переменной закладываются в начальной школе.

Термины «выражения с переменной», «переменная» здесь не используется. В начальной школе говорят о выражении, содержащем буквы. Такие выражения младшие школьники читают, записывают, подсчитывают значения выражений.