Линейная функция и ее график

Линейная функция – двучлен первой степени, т.е. функция вида у = ах + b, (1)

где коэффициенты а и b – действительные числа.

Область определения функции (1) есть все множество действительных чисел, т.е. функция задана в интервале (–¥, +¥), множество значений функции есть также интервал (–¥, +¥). Если а > 0, то функция возрастающая, при а < 0 – убывающая. Убедимся в этом. Пусть а >0, тогда при х ₂ > х ₁ и y ₂ > y ₁. Действительно, y ₂ = ах ₂ + b, y ₁ = ах ₁ + b, откуда y ₂ – y ₁ = а (x ₂ – x ₁), а так как а > 0 и x ₂ – x ₁> 0,             то y ₂ – y ₁> 0или y ₂ > y ₁. Убывание функции при а < 0 доказывается аналогично. Следовательно, линейная функция при а ≠ 0 имеет обратную однозначную функцию, которая будет также линейной. Найдем обратную функцию для функции (1) y = ax + b, ax = y – b, x =  или, поменяв названия переменных х и у, получим y = = .

Покажем, что график линейной функции (1) есть прямая линия. Пусть в равенстве (1) b = 0, тогда

у = ах         (2)

есть уравнение прямой, проходящей через начало координат. Действительно, точка О (0; 0) принадлежит графику функции (2), так как ее координаты х = 0, у = 0 удовлетворяют уравнению (2). Дадим х произвольное значение х ₁, тогда

у = ах ₁        (3)

Через две точки О (0; 0) и М ₁(x ₁; y ₁) проведём прямую линию (рис. 1а).

 

Рис. 1

Из рисунка видно, что . Учитывая (3), получаем а = tg a ₁ = . Возьмём другое произвольное значение x, равное x ₂, тогда y ₂ = ax ₂                                                                          (4)

Через две точки О (0;0) и М ₂(x ₂; y ₂) проведем прямую линию. Из рисунка 1а видно, что . Учитывая (4), получим а = = . Следовательно, , откуда a ₁ = a ₂ = a (0£ a <p), т.е. точка М ₂(x ₂; y ₂) также лежит на прямой, проходящей через точки О (0; 0) и М ₁(x ₁; y ₁). Отсюда следует, что любая точка M (х; у), координаты которой удовлетворяют уравнению (2), лежит на прямой, проведенной через точки О (0; 0) и М ₁(x ₁; y ₁), поэтому график функции (2) есть прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с положительным направлением оси Ох угол a, тангенс которого равен а. Коэффициент называют угловым коэффициентом прямой.

Что же касается графика линейной функции у = ах + b, то егоможно получить из графика функции у = ах путем сдвига вдоль оси Оу на b единиц вверх, если b > 0, или вниз, если b < 0. Итак, график линейной функции (1) есть прямая линия, пересекающая ось Ох под углом a () и отсекающая на оси Оу отрезок, величина которого равна b (рис. 1 a).

Справедливо и обратное предложение: любая прямая, не параллельная оси Оу, является графиком некоторой линейной функции. Действительно, пусть прямая (1) пересекает ось Оу в точке В и отсекает от этой оси отрезок ОB = b. Угол наклона прямой с осью Ох равен a (рис. 1 б). Возьмем на прямой произвольную точку М (х; у) и опустим из этой точки перпендикуляр МА на ось Ох. Через точку В проведем отрезок ВС, параллельный оси Ох. Из прямоугольного треугольника ВМС найдем:  или , отсюда y – b = ax или y = ax + b.

Получили уравнение (1), что и требовалось доказать.

Известно, что положение прямой определяется двумя точками, принадлежащими ей. Отсюда, чтобы построить график линейной функции, т.е. построить прямую линию по ее уравнению, надо найти любые две точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, построить их и через них провести прямую. Построенная прямая будет искомым графиком данной линейной функции.

Рассмотрим частные случаи функции (1).

1) Если b = 0, то у = ах. Функция вида у = ах называется прямой пропорциональностью. Говорят так же, что в этом случае величина у прямо пропорциональная величине х. Частное  принимает одно и тоже значение (кроме пары (0, 0)) и называется коэффициентом пропорциональности.

Этот случай уже рассмотрен выше. Укажем только, что если а = 1 (угол ), то график функции у = x является биссектрисой первого и третьего координатных углов (рис. 2а).

 

 

      у                                              у

 

                      у = х

                                                                                          х

                                                                                b y = b (b < 0)

  0                    х

                                                           M (x, b)

 

          а)                                               б)

Рис. 25

2) Если а = 0, то

y = b.                  (5)

Линейная функция (5) постоянна. Графиком этой функции будет прямая параллельная оси абсцисс (угол a = 0), отсекающая на оси ординат отрезок, величина которого равна b (рис. 27б). Любая точка М (х; b) лежит на графике функции (5), так как координаты этой точки удовлетворяют уравнению (5).

3) Если окажется, что а = b = 0, то

у = 0.                      (6)

Линейная функция (6) постоянна. Графиком этой функции будет ось абсцисс. Любая точка М (х; 0) лежит на графике функции (6), так как координаты ее удовлетворяют уравнению (6).

Итак, мы убедились, что при любых значениях а и b уравнение у = ах + b имеет своим графиком прямую линию.