Наведемо приклади многочленів над полем Р, які не мають жодного корення у цьому полі.
над полем Q не має рац. коренів. Многочлен 
над полем R не має дійсних коренів. Але кожній з цих многочленів має корені в деякому розширенні розглядуваного поля, а саме: 
має корені 
корені 
.
Теорема 3 (Кронекера): Якщо 
довільний многочлен над полем Р, для якого 
то існує розширення К поля Р, в якому є корінь .
Теорема 4: Для будь-якого многочлена 
степеня існує таке розширення L поля Р, в якому розкладається на лінійні множники.
Означення 1: Поле L, в якому многочлен розкладається на лінійні многочлени, називають полем розкладу цього многочлена.
Приклад 1.
не розкладається на множники 
в.
в кінці многочленів над полем чисел виду 
в кінці многочленів 
над полем R дійсних чисел 
над полем дійсних чисел, всі множники лінійні, тому С поле розкладу.
Означення 2: Поле Р називається алгебраїчно замкнутим, якщо воно є полем розкладу для будь-якого многочлена ненульового степеня.
Приклад: поле С комплексних чисел. Твердження про алгебраїчну замкненість цього поля основна теорема теорії многочленів.
Наслідок 1: Многочлен n-го степеня має у полі розкладу n коренів.
Наслідок 2: У полі розкладу многочлен 
має канонічний розклад виду 
, де 
різні корені многочлена .
Теорема 5 (Вієта): Якщо корені многочлена 
, то
,
, (3)
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………….
Символ 
cлід тут розмістити так, що сума береться по всіх 
комбінаціях з n індексів 1,2,3,…, n по k.
Для доведення формул (3) досить виконати множення у правій частині рівності:
Формули Вієта.
Ф. Вієт (1540-1603) видатний французький математик.
4. Про алгебраїчну і функціональну рівність многочленів.
Приклади.
Алгебраїчна рівність:
Означення 1: Многочлени 
називають рівними між собою і записують 
, якщо канонічні форми цих многочленів збігаються: тобто 
.
Нехай 
многочлен над областю цілісності R, а С – деяке комутативне кільце що є розширенням R. Якщо α – будь-який елемент з С то має сенс вираз:
, бо в (1) С визначено дії множення і додавання над елементами α, 
. Вираз (1) утворений з заміного символа х елементом α. Позначають f(α) і називають значенням многочлена f(х) при х=α.
Кожному 
відповідає за цим правилом єдиний елемент f(α) 
.
Теорема 2: Якщо f(х) — будь-який многочлен над областю цілісності R, а С – деяке комутативне кільце, яке є розширенням R, то поставивши кожному елементу у відповідність елемент f(α) , дістаємо функцію 
.
Наслідок: Якщо R — область цілісності, що є числовим полем, то многочлени рівні між собою тоді і тільки тоді, коли їх значення в довільний точці області R рівні між собою.
*******************************************************************************
Лекція 4
Кратні множники многочлена
План.
1. Похідна многочлена. Властивості. Схема обчислення похідних в точці.
2. Незвідні кратні множники многочлена.
3. Задача відокремлення кратних множників.
4. Ознака кратності кореня многочлена.
1. Похідна многочлена. Властивості. Схема обчислення похідних в точці.
Похідною.від многочлена f’(x)=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+2a2x +a1(*).
Похідна від многочлена нульового степеня, а також похідну від нуль-многочлена беруть рівною нулю.
Похідна від многочлена над полем Р є знову многочлен над полем Р.
Будемо розглядати многочлени та їх похідні над полем дійсних чисел.
deg f’=degf-1.
Для многочленів над полем дійсних чисел(як і для диференційованих функції) справедливі, як відомо, такі правила диференціювання:
[f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x) (1)
[f(x)*g(x)]’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) (2)
І, зокрема,
[cf(x)]’=cf’(x) – (c - константа) (3)
Справедливість цих рівностей не залежить від того, над яким полем ці многочлени розглядають, бо вони означають просто рівність відповідних коефіцієнтів многочленів в обох частинах рівностей.
Пояснимо цю думку на прикладі формули (1). Якщо дано два многочлена з кільця R[x]:
f(x)=anxn +an-1xn-1+…+a1x+a0,
g(x) = bmxm +bm-1xm-1+…+b1x+b0, (n≥m), то
f(x)+g(x)= anxn +an-1xn-1+…+(am+bm)xm+…+(a1+b1)x+(a0+b0).
Переходячи до похідних за правилом (*), помічаємо, що формула (1) означає просто тотожну рівність многочленів:
nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+m(am+bm)xm-1+…+(a1+b1)= [nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+mamxm-1+…+a1] +[mbmxm-1+…+b1](4)
Можна розглядати f’(x), f’’(x), f’’’(x),…fk(x). При цьому fk(x) – визначають як похідну f(k+1)x, fk(x)=0, k>n, fn(x)=n!an(an – сталий коефіцієнт f(x)).
2. Незвідні кратні множники многочлена.
Всякий многочлен над полем Р можна єдиним способом подати у вигляді добутку многочленів нижніх степенів, незвідних у цьому полі:
f(x)=[p1(x)]k1[p2(x)]k2…[pi(x)]ki (5)
Якби для кожного многочлена був відомий канонічний розклад (5), тоді було б досить розглядати лише незвідні множники, степінь яких, як правило, значно нижчий за степінь даного многочлена.
Покажемо, що в деяких випадках можливо розробити загальний метод розкладання многочлена на множники, хоч цей розклад не буде таким повним, як зображення (5).
Виберемо у розкладі (5) ті незвідні множники pi(x), кратність яких ki дорівнює 1, і позначимо добуток цих множників через µ1(x):
µ1(x)=pi1(x) pi2(x)… pis(x)
Тепер утворимо добуток тих множників pj(x) – кратність яких kj =2, тобто тих, які входять у (5)зі степенем 2.
µ2(x)=pj1(x) pj2(x)… pjs(x)
µ2(x) – добуток самих незвідних множників, а не їх квадратів, так що в розклад входить [µ2(x)]2.
µ3(x) – добуток незвідних множників кратності 3 і т.д.
Розклад (5) можна записати:
f(x)= µ1(x)[ µ2(x)]2[ µ3(x)]3…[ µm(x)]m, (6)
або ж f= µ1 µ22 µ33... µmm.
Якщо множників кратності k<m в розкладі (6) немає природно вважають µk=1.
Розклад (6) доцільний тоді, коли в (5) існують кратні множники. Якщо ні, то f(x)= µ1 (x).
Приклад 1.
f(x)= x13-5x12+6x11+4x10-9x9+5x8-6x7-4x6+8x5=x5(x-2)3(x2+1)(x+1)2(x-1).
µ1=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, µ2=x+1, µ3=x-2, µ4=1, µ5=5.
f(x)= µ1(x)*[ µ2(x)]2*[ µ3(x)]3*[ µ4(x)]4*[ µ5(x)]5.
В цьому прикладі розклад многочлена f(x) на множники µk(x) дає змогу повністю знайти всі його корені, тому, що ми вміємо розв’язувати рівняння 1-3 степенями.
№3
