Моделирование детерминированных систем

КАФЕДРА

«Технология производства приборов

И систем управления летательных

аппаратов»

Лохов. Ю.Н., Могильная Т.Ю., Ширяева Н.А.

МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО

По дисциплинам

«Моделирование систем» специальности 22.02

«Моделирование объектов и систем» специальности 19.03.

Часть первая

Моделирование детерминированных систем

МОСКВА 2004 г.
О Г Л А В Л Е Н И Е

Введение. 3

1. Общие сведения о процессах математического моделирования технологических процессов 4

1.1.1 Законы сохранения и основные уравнения неравновесной термодинамики. 9

1.1.2 Линейные законы для обобщенных переменных. 14

1.2 Постановка задачи моделирования. 18

1.2.1 Основные уравнения математической физики. 18

1.3. Моделирование граничных условий для основных уравнений математической физики. 25

1.3.1 Физическая постановка задачи формирования граничных условий. 25

1.3.2 Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка 27

2 Основные типы приближений. 32

2.1 Стационарное состояние. Равновесное приближение. 32

2.1.1 Механическое равновесие. 33

2.1.2 Моделирование равновесных и квазиравновесных процессов. 34

2.2 Диффузионное приближение. 40

2.3 Приближение высоких энергий. 46

3. Моделирование задач оптики. 52

3.1 Принципы расчета передаточной функции простейших оптических элементов. 52

3.2 Применение приближения плоской волны и интеграла Кирхгофа в моделировании задач оптики 53

3.3 Применение приближения плоской волны при моделировании плоских фокусирующих элементов. 53

3.4 Расчет передаточной функции дифракционной решетки в приближении Кирхгофа. 57

3.5 Определение функции передачи оптического диска в приближении плоской волны (прямая задача расчета дифракционных решеток) 62

3.6 Применение результатов расчета электромагнитного поля для определения точностных параметров разрабатываемых элементов. 70

4 Интерпретация полученных следствий и проверка адекватности модели. 71

5 Заключение. 71

Литература. 72

Введение

Что такое математическое моделирование?

Математическое моделирование в науке и технике используется уже несколько столетий при проектировании новых приборов и аппаратов. Однако вследствие развития ЭВМ с середины XX в. оно стало применяться в самых различных областях человеческой деятельности. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей. В каждой области можно выделить свои способы построения моделей, однако, в любом случае при моделировании выделяют несколько обязательных этапов, о которых мы скажем ниже. С начала дадим определение понятию «математическая модель»

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

Основные этапы математического моделирования

Первым обязательным этапом, независящим от области применения является - Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т.д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

Следующим обязательным этапом является решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

Третьим обязательным этапом является интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

Последним этапом, который осуществляется вне зависимости от вида объекта и типа моделирования является проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

Как следствие, результатом этого этапа является модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

 

Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие — как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т.д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф — это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.