Моделирование равновесных и квазиравновесных процессов

В начале рассмотрим процессы, в которых происходит равновесный переход из одного фазового состояния в другое, например, из жидкого в твердое. В этом случае можно предположить, что при изменении температуры скорость установки равновесия гораздо больше градиента температуры и скорости теплового потока. В этом случае систему можно представить как систему, в которой в каждый момент времени существует локальное равновесие фаз, а зависимость температуры от времени является скачкообразной.

Определение 9 Система, которая в каждый момент времени может быть описана уравнением состояния, называется квазиравновесной.

При моделировании равновесных и квазиравновесных систем мы полагаем отсутствие движения потоков внутри системы, таким образом, уравнения (2.5) – (2.6) представляют тождественное равенство, и задача сводится к решению уравнений на границе раздела.

 

(2.5)

или

(2.6)

 

Таким образом, уравнение (2.5) представляет собой просто уравнение сохранения химического потенциала и для системы, состоящей из r фаз и n компонентов разбивается на систему уравнений следующего вида:

(2.9)

где μ - химический потенциал компонента в фазе;

индексы i и j относятся к номерам компонент;

индекс k – к номеру фазы.

Таким образом, на примерах для системы состоящей из трех компонент и двух фаз, мы можем записать шесть уравнений для диаграммы состояний.

Одноко не все уравнения в даной системе являются независимыми. Количество независимых уравнений определяется правилом Гиббса:

f=r+n-2, (2.10)

где f - степень свободы системы.

Поэтому из этих уравнений можно выбрать любые в количестве, определяемом степенью свободы системы.

Основная проблема при решении диаграмм состояния заклюяается в том, что для многих систем неизвестны экспериментальные входные параметры, особенно для многокомпонентных составов, такие как энтропия, энтальпия системы в заданной точке, параметры связи компонентов системы (коэффициент активности). Принято моделировать системы в типовых приближениях, полагая, что коэффициент активности можно представить в виде многочлена n -й степени, зависящего от температуры и состава, при этом, как и в обычной термодинамике, предполагается, что в газовой фазе коэффициент активности постоянен. Если концентрация компонента близка концентрации примеси, то уравнение для этого компонента записывается как уравнение идеального газа.

В остальных случаях коэффициенты активности описываются функциями подобранными экспериментально. Для бинарных твердых растворов материалов наиболее часто спользуемых в промышленности эти функции известны. Для многокомпонентных систем предаолагается, что они являются функциями состава в целочисленной степени. если эта функция линейна, то такое описние диаграммы состояний называется «приближение простых растворов».

Таким образом, диаграму состоянии можно представить в виде системы транцендентых уравнений относительно составов содержащихся в них компонент. При моделировании равновесного состояния возникают два типа трудностей: первая трудность связана с подбором экспериментально определяемых констант, вторая - с наличием точек разрывов первого и второго рода на диаграмме состояний. точки разрывов очень часто показывают области, где система перестает быть принципиально равновесной, и, как следстве, ее реализация не осуществима на оборудовании, работающем в низкоэнергетических режимах передачи энергии.

Очень важное значение имеют градиенты составов по температуре () и другим компонетам (). Первый градиент пропорционален скорости роста фазы, второй носит название «коэффициент сегрегации» и определяет сколько компонент одного вещества можно ввести в систему.

Рассмотрим в качесве примера моделирование технологического процесса выращивания полупроводникового лазера методом жидкофазной эпитаксии.

 

 

Уравнение (2.5) обычно используется при моделировании задач, связанных с фазовыми переходами, а (2.6) – со стационарными состояниями твердого тела. Очень часто в качестве приближения для уравнения равновесия используется так называние «приближение пологой оболочки». Сущность этого приближения состоит в том, что предполагается существование некоторой поверхности, где все действующие силы находятся в равновесии. Рассмотрим это приближение на примере ВТГ.

 

Резонатор ВТГ выполнен в виде тонкостенной полусферической оболочки, закрепленной на цилиндрической ножке в окрестности полюса (рис. 2.1). Математическая мо­дель оболочки строится на основе гипотезы Кирхгофа-Лява, которая заключается в следующем: любая прямая, нормальная к средней поверхности оболочки до деформации, остается нормальной к этой поверхности и после деформации; длина отрезка нормали вдоль толщины оболочки остается постоянной в процессе деформации; нормальные напряжения, возникающие между соседними слоями оболочки, параллельными средней поверхности, малы по сравнению с другими компонентами тензора напряжений, и ими можно пренебречь.

Рис. 2.1. Резонатор ВТГ 1 – оболочка 2 -ножка

Рис. 2.2. Схема деформации оболочки (α), (β), (γ) – координаты линий; - компоненты вектора перемещения; - единичные векторы

Гипотеза Кирхгофа - Лява дает возможность установить геометрическую картину деформации оболочки. В общем случае деформация является суммой касательных перемещений , точек средней поверхности и нормального перемещения этой же поверхности; здесь и - локальные координаты точки на средней поверхности полусферической оболочки (рис. 2.2).

Согласно гипотезе Кирхгофа - Лява, компоненты тензоров напряжений и деформаций ( и соответственно) под­чинены следующим условиям:

,

где - "вертикальная" координата точек, лежащих внутри оболочки (см. рис. 2.2).

С помощью этих соотношений закон Гука, отражающий линейную связь тензоров напряжений и деформаций, можно записать в виде

(2.11)

где Е - модуль Юнга; v - коэффициент Пуассона материала оболочки.

Компоненты тензора деформаций разложим по степеням координаты и оставим в полученных разложениях только линейные относительно слагаемые:

(2.12)

Коэффициенты разложений (2.12) имеют следующий геометрический смысл: и являются относительными удлинениями координатных линий; и характеризует изменение угла между координатными линиями (деформация сдвига); и характеризуют изменение главных кривизн средней поверхности при переходе в деформированное состояние (деформация изгиба); характеризует деформацию кручения средней поверхности.

Значения коэффициентов разложений (2.12) целесообраз­но привести сразу для полусферической оболочки, для ко­торой - сферические координаты, R - ра­диус средней поверхности в недеформированном состоянии (рис. 2.3), тогда справедливы равенства:

(2.13)

Рис. 2.3. Сферические координаты

Рис. 2.3. Схема нагрузок действующих на элемент оболочки

Подставляя (2.12) в (2.11), получаем:

(2.14)

 

Рассмотрим движение выделенного элемента оболочки, для которой координатные линии являются линиями кривиз­ны (рис. 2.4); очевидно, что сферическая оболочка обладает таким свойством. На рис. 2.4 точки имеют следующие координаты: .

Согласно принципу Даламбера, выделенный элемент на­ходится в состоянии равновесия, если сумма активных сил, сил инерции, а также моментов этих сил, приложенных к нему, равна нулю.

Введем в рассмотрение силы и моменты, действующие на выделенный элемент со стороны остальной части оболочки (см. рис. 2.4):

- нормальные силы;

- сдвигающие силы;

- перерезывающие силы;

- изгибающие моменты;

- крутящие моменты.

Обозначим проекции сил инерции, отнесенных к единице площади средней поверхности, на оси локальной системы координат через X, Y, Z соответственно.

Отметим, что все силовые факторы приведены на единицу длины соответствующей координатной линии средней поверхности оболочки.

Силовые факторы связаны с компонентами тензора на­пряжений следующим образом:

(2.15)

где h - толщина стенки оболочки.

Подставляя (2.14) в (2.15) и выполняя интегрирование, по­лучаем выражения для сил и моментов через составляющие деформации:

(2.16)

Уравнения равновесия элемента оболочки, изображенного на рис. 2.4, выглядят следующим образом:

(2.17)

После исключения перерезывающих сил и и подстановки получаем:

(2.18)

Решая эти уравнения можно получить распределение пучности и впадин стоячей волны по кромке резонатора в начальный момент времени в стационарном режиме. Эти расчеты бывают крайне необходимы при оценке падения добротности резонатора в зависимости от технологических погрешностей изготовления активного элемента.

Диффузионное приближение

 

К сожалению, во многих случаях на практике принципиально невозможно ограничиться только уравнениями равновесия на границе раздела. В этом случае мы переходим к приближениям более высокого порядка. Мы не будем строго доказывать возможность применения этого приближения, хотя в каждом из конкретных случаев приходится делать достаточно сложные оценки применимости этого приближения к реальной задаче.

Удобством этого приближения является то, что в настоящее время в литературе рассмотрены все основные типы уравнений второго порядка в этом приближении практически для всех областей техники. При описании этих приближении авторы, как правило, опускают описание того, чем они пренебрегают при моделировании, если это опущено, то, скорее всего, задача решена в «типовой» постановке и включает следующие положения.

 

Основные упрощения типового диффузионного приближения.

1. Мы предполагаем, что все потоки в уравнениях (1.47) – (1.49) действуют независимо друг от друга (), например, в задаче тепломассопереноса передача тепла условно не зависит от передачи массы. Это приводит к тому, что общую систему уравнений можно разделить на отдельные системы более низкого порядка и решать отдельные задачи, которые часто решаются отдельно друг от друга (разными людьми). Связь между этими задачами осуществляется через граничные условия. Таким образом, например, если общая задача тепломассопереноса в одномерном приближении включает 27 уравнений вместе с граничными условиями, то отдельные задачи представляют собой систему из 1 уравнения в частных производных и 3 граничных условий.

2. Мы предполагаем, что на одной из границ выполняется закон локального равновесия фаз, т.е. потоки энергий слабые. Это позволяет решать данное уравнение в численном виде при достаточно простых методах построения сеток.

3. Мы предполагаем, что среда, в которой распространяются локальные потоки, однородна или квазиоднородна. Квазиоднородность предполагает, что существуют достаточно протяженные участки, в которых функции параметров (теплопроводность, теплоемкость, коэффициент диффузии, химические константы и т.д.) являются непрерывными функциями вместе со своими производными. Скачки могут происходить только на границе раздела.

4. Мы предполагаем, что на «удаленных» границах применимы стандартные граничные условия, которые ставятся из предположения, что потоки неразрывны по всем координатам.

Эти условия очень часто приводят к тому, что все уравнения приводятся к виду, обладающему следующими особенностями:

1. Задача упрощается за счет того, что обобщённые скорости потоков являются функциями только одной координаты, т.е. матрица коэффициентов Онсагера имеют линейную диагональную форму. В этом случае уравнения конвективного массопереноса представляют собой полилинейную форму, т.е. в декартовой системе координат Vx, Vy, Vz являются функцией только той координаты, по которой идет движение потока. В этом случае уравнение конвективного потока для скоростей по виду совпадает с уравнением переноса энергии.

2. Если процессы происходят с разной скоростью, то мы можем решать систему уравнений, а каждое уравнение независимо друг от друга. Эти решения связаны между собой только внутренними коэффициентами и граничными условиями. Таким образом, в декартовой системе координат 9 уравнений можно разбить по 3 уравнения, решаемые отдельно и связанные между собой граничными условиями.

Диффузионное приближение принято рассматривать в двух видах.

Первый вид представляет собой аналитическое решение типовых уравнений математической физики при постановке задач Коши и Дирихле. Рассмотрим простейший вид постановки такой задачи.

 

Аналитическое решение задачи теплопереноса.

Допустим, что существует передача какого-нибудь обобщенного потока, в частном случае, тепла. Мы можем воспользоваться решением типовой задачи распространения тепла в одном направлении в условиях, когда или границы распространения тепла лежат в бесконечности, или время распространения тепла является бесконечным (задача Коши, задача Дирихле). Такие задачи носят название «задачи с полубесконечными границами». Стоит заметить, что, как правило, время представляется в виде одной из координат.

Решение таких задач дается через фундаментальное решение оператора теплопроводности.

 

Фундаментальное решение оператора теплопроводности.

 

Рассмотрим фундаментальное решение оператора теплопроводности [7].

(2.19)

где δ(x, t) – дельта функции Дирака.

Решение этого уравнения выражается формулой:

(2.20)

Эта функция называется фундаментальным решением оператора теплопроводности.

Выведем формулу (2.20) методом преобразования Фурье. Для этого применим преобразование Фурье к равенству (2.19):

(2.21)

и воспользуемся формулами:

(2.22)

(2.23)

 

В результате для обобщённой функции получаем уравнение:

(2.24)

Пользуясь формулой с заменой на , заключаем, что решением уравнения (2.24) является функция:

Отсюда, применяя обратное преобразование Фурье и пользуясь формулой

получаем равенство (2.20):

Рассмотрим применение данного решения для различных граничных условий.

Задача Коши для уравнения теплопроводности.

 

Тепловой потенциал.

Рассмотрим поведение фундаментального решения в том случае, если источником обобщенного потока является точка заданной интенсивности θ(t):

(2.25)

Эта функция неотрицательна, обращается в нуль при , бесконечно дифференцируема при и локально интегрируема в .

Более того

, (2.26)

, в (2.27)

Рис. 2.1. График функции при различных

 

Фундаментальное решение даёт распределение потоков (в частности, температуры) от точечного мгновенного источника . Поскольку при всех и , то поток (тепло) распространяется с бесконечной скоростью. Но, вследствие диссипативных процессов, в реальности такое распространение потока не может быть осуществлено. Поэтому, такое решение может быть использовано только или в очень ограниченном диапазоне времени, или в очень узкой области. Чаще всего оно применяется для компенсации разрыва граничных условий в точках приложения сил или в области, где функции параметров (теплопроводность, теплоемкость, коэффициент диффузии, химические константы и т.д.) имеют разрыв.

В более общем случае, для получения аналитического решения потенциал потока (тепловой потенциал) определяется следующим образом.

 

Тепловой потенциал при наличии конечного источника излучения.

Допустим, существует источник излучения, имеющий форму и конечные размеры. Обозначим его обобщенной функцией f.

Пусть обобщённая функция обращается в нуль при . Обобщённая функция , где - фундаментальное решение оператора теплопроводности, называется тепловым потенциалом с плотностью .

Если тепловой потенциал существует в , то он удовлетворяет уравнению теплопроводности:

(2.28)

Если обращается в нуль при , то тепловой потенциал заведомо существует в .

Выделим ещё один класс плотностей , для которых тепловой потенциал существует. Пусть - класс функций, обращающихся в нуль при и ограниченных в каждой полосе .

Если , то тепловой потенциал с плотностью существует в классе и выражается формулой:

(2.29)