Статистична функція розподілу

Практичне застосування теорії ймовірності опирається на дослідний експеримент. Закони розподілу, числові характеристики випадкових величин, що характеризують ті чи інші випадкові явища, можна одержати тільки на основі фактичної інформації, яку одержують шляхом тривалих організованих спостережень.

Якщо величина Х дискретна, то статистичним аналогом ряду розподілу є статистичний ряд, який відрізняється від ряду розподілу тим, що замість імовірностей p = p { x = x } в ньому стоять частоти відповідних подій p * = p* { x = x }.

Опишемо результати серії дослідів (незалежних), в кожному з яких зареєстровано значення випадкової величини Х (маємо протокол досліду); заміряли навантаження по годинах.

…

…

=24; k – номер досліду.

Це є первинна статистична сукупність (зовсім не опрацьований статистичний матеріал).

Розглядати і описувати таку таблицю важко і не можна добре уявити характер розподілу випадкової величини Х. Тому здійснюють її впорядкування в порядку збільшення значень випадкових величин. Такий протокол досліду називається впорядкованою статистичною сукупністю.

…

…

номер значення.

Тепер можна побудувати F(x). Перепишемо впорядковану статистичну сукупність:

Варіанти значень

Абсолютна частота

Накопичена частота

Статистична ймовірність 1/24 3/24 6/24 10/24 4/24

1/24 4/24 10/24 20/24

Функція розподілу F*(x) - розривна квантована функція неперервна зліва, дорівнює нулю, лівіше найменшого значення випадкової величини Х і 1 – правіше найбільших.

Теоретично вона повинна мати n квантів, де n - число дослідів, а величина кожного кванта дорівнює 1/n – частоті експериментального значення. Практично якщо одне й теж значення спостерігалось декілька раз, то стрибки зливаються в один, так що загальне число квантів дорівнює числу різних експериментальних значень.

Графічно F* дає саме загальне значення про характер розподілу.

При зростанні n скачки падають і стають дрібнішими і F*(x)→F(x)

Цей процес отримання F(x) дуже громіздкий.

Згрупований статистичний ряд. Гістограма

Згрупованим статистичним рядом називається таблиця, де в верхньому рядку записують інтервали значень випадкових величин, а в нижньому – ймовірності, з якою випадкова величина попадає в даний інтервал.

...

...

де n – кількість інтервалів

Частота p * події { X є (x ; x ) } обчислюється як відношення числа l дослідів, в яких значення випадкової величини Х потрапило в і –тий розряд (x x ), до загального числа n проведених дослідів.

Якщо значення випадкової величини Х потрапило на границю між розрядами, то його розділяють порівну між обома інтегралами і додають по ½ до чисел ℓ обох розрядів.

210÷215 215÷220 220÷225

1/24 14/24 9/24

Розділивши кожну частоту p * на довжину відповідного розряду ∆x = х –х одержимо таблицю густини частоти φ *.

i 210÷215 215÷220 220÷225

1/20 14/120 9/120

По згрупованому статистичному ряду можна побудувати