Вступ.
Роль математики в розв’язку різноманітних задач, яка завжди мала велике значення, зросла ще більше з появою обчислювальних машин. Слід пам’ятати, що математичними співвідношеннями, зокрема диференційними рівняннями, можна описати все, що завгодно, якщо тільки прийняти певні постулати.
Але слід пам’ятати, що для розв’язку технічих задач використовують так звану прикладну математику, яка, на відміну від теоретичної, є наукою про відшукання і вдосконалення практично допустимих методів розв’язку математичних задач, що виникають поза математикою.
Математичні рішення прикладних задач електроенергетики мають певну специфіку (недоказовість і низький рівень), оскільки математична модель реального об’єкта може описувати лише загальні (основні) риси об’єкта, а не претендує на його повний опис.
Перш ніж перейти до розгляду методів прикладної математики, які розглядаються в курсі, звернемо увагу на термінологію і характеристики умов роботи електричних систем.
Енергетична система – є сукупність електростанцій, мереж і приймачів, зв’язаних між собою єдністю виробництва, розподілу та споживання енергії.
Щоб дати математичний опис, необхідно у вигляді математичної моделі описати всі зв’язки між змінними величинами процесів.
Енергія – це кількісний показник роботи електричної системи
Якість енергії - головним чином характеризується величиною і частотою напруги у споживача.
Режим системи – її стан в любий момент часу або на деякому інтервалі часу.
Параметри режиму – показники, що залежать від зміни режиму (напруги в різних точках системи, струми в її елементах, кути розходження векторів Е і U, P і Q, і т.д.)
Проектування енергетичних систем і введення їх режимів вимагають розв’язку слідуючих задач:
- аналізу (вивчення функцій системи);
- синтезу (визначення структури і параметрів систем та їхніх підсистем на основі заданої виконуючої ними функції);
- керування систем.
Основна задачааналізу – визначення параметрів режимів, які відбуваються в системі, з допомогою математичних моделей.
Математична модель відтворює зв’язки координат режиму системи, які встановлюють на основі загальних законів опису.
При аналізі і складанні математичного опису розрізняють три основних види режимів електричних систем:
1) нормальний усталений режим, відносно якого і проектується система і визначаються техніко-економічні характеристики;
2) післяаварійний усталений режим, який настає після аварійного вимкнення будь-якого елемента або ряду елементів системи;
3) перехідний режим, під час якого система переходить з одного стану в інший.
Поняття усталеного режиму є умовним (так як все одно під час нормальної роботи відбуваються певні комутації, ввімкнення,вимкнення, але вони не викликають переходу системи з одного стану в інший, тобто вони відбуваються в межах одного режиму).
Експлуатаційні системи супроводжуються нормальними перехідними процесами. Усталені режими характеризуються незмінними в часі параметрами і зв’язки між параметрами режиму описуються алгебраїчними рівняннями. Для перехідного режиму характерна зміна всіх параметрів в часі і описують його диференційними рівняннями.
Аналіз усталених режимів є найпростішою задачею аналізу. Не менш важливою задачею аналізу є оцінка стійкості нормальних режимів при неглибоких збуреннях (статична стійкість).
Мале відхилення – таке відхилення, при якому досліджувана електрична система може вивчатися на основі лінійного диференційного рівняння з використанням загальних методів Ляпунова, способів малих коливань, передбачаючих дослідження характеристичних рівнянь і використання частотних характеристик В електричній системі виникають аварійні перехідні процеси (КЗ елементів системи і подальше їх вимкнення, зміна схеми з’єднання системи) при аварійних вимкненнях агрегатів, ЛЕП, що несуть значні навантаження. Ці зміни називаються великі (глибокі ) збурення, вони призводять до значних відхилень параметрів режимів від їх вихідного стану.
Стійкість в таких умовах – динамічна стійкість.
При аналізі динамічної стійкості необхідно складати і інтегрувати нелінійні трансцендентні рівняння досить високих порядків. Для цього використовують аналогові обчислювальні машини і розрахункові моделі змінного струму. Але більш часто на основі відомих числових методів інтегрування (методів Руни-Кута та ін.) створюються спеціальні алгоритми.
Крім того, існує поняття результуюча стійкість – здатність системи відновлювати вихідний режим або режим, практично близький до нього, після порушення протягом деякого часу синхронної роботи з подальшим її відновленням без вимкнення основних робочих елементів системи.
З питань стійкості розглянемо деякі критерії стійкості (Михайлова, частотні, алгебраїчні), а решту – в перехідних процесах.
Важливою задачею аналізу є оцінка якості електричної енергії, основними показниками якої є діюче значення напруги на приймачах і частоти системи, а також форма кривої напруги та симетрія трифазних напруг. Якість енергії, як і надійність енергопостачання, визначає ефективність енергосистеми.
Обидві задачі розв’язуються на базі теорії ймовірності.
Однією з важливих задач електроенергетики є розрахунок усталених режимів систем, знаходження розподілу в них потоків потужностей, струмів і напруг. Для розв’язку цих задач використовуються матричні записи рівнянь з використанням теорії графів і елементів топології.Усталені режими розраховуються як при детермінованих, так і при ймовірних умовах. При чому при розрахунках за імовірних умов необхідно враховувати можливість появи випадкових величин і випадкових подій.
Ще одна задача електроенергетики – розгляд перехідних режимів і аналіз роботи регулюючих пристроїв. Для її розв’язку вимагається використання різних методів дослідження диференційних рівнянь.
Синтез електроенергетичних систем і їх елементів складається з ряду задач:
1) прогнозування енергопостачання та визначення можливих варіантів розв’язання задачі та їх аналіз;
2) оптимізація варіантів;
3) зіставлення показників ефективності варіантів.
Математичні задачі електроенергетики об’єднують наступні розділи:
1) методи розв’язку складних алгебраїчних рівнянь при матричному їх представленні;
2) метод топологічних графів;
3) метод теорії ймовірності та статистики;
4) аналіз диференційних рівнянь;
5) оптимізацій ні методи;
6) методи математичного планування або лінійного і нелінійного програмування.
Відмінною властивістю сучасних методів задачі електроенергетики є:
1) розглядається, як правило, не один об’єкт, який характеризується невеликою кількістю параметрів, а сукупність об’єктів із їх взаємозв’язками;
2) якщо класична математика дає відповідь на запитання “ як буде вести себе об’єкт за даних умов?”, то сучасні методи – “ які умови необхідно створити, щоб об’єкт вів себе так, як потрібно нам?”;
3) використання сучасних методів неможливе без ЕОМ, які розширюють їх можливості;
4) класична математика дозволяє вести розрахунок лише усталених режимів нескладних СЕП.
Ціль курсу і полягає в тому, щоб набути навиків володіння сучасними методами математики для вирішення задач електроенергетики.
Розділ 1. Методи теорії імовірностей в задачах
електроенергетики
Основні положення теорії імовірності
Теорія імовірностей – математична наука, яка вивчає закономірності випадкових подій, випадкових величин і випадкових функцій.
Випадковою подією називається подія, яка може в даних конкретних умовах відбутися або не відбутися.
Достовірною є подія, яка обов’язково відбудеться.
Неможливою – подія, яка не може відбутися.
Відносна частота виникнення випадкової події є відношення числа випадків, коли подія відбувається до загального числа спостережуваних випадків.
Величина, відносно якої коливається відносна частота, характеризує об’єктивну можливість здійснення даної випадкової події і називається імовірністю події.
Таким чином, закономірність випадкової події, що визначається її імовірністю, виявляється при достатньо великій кількості дослідів, тобто на основі аналізу великої кількості статистичного матеріалу.
Випадковою величиною називається величина, яка приймає в результаті досліду те чи інше значення, яке наперед невідоме.
Всі випадкові величини підпорядковуються тим чи іншим закономірностям.
До випадкових величин відносяться: похибки виміру, помилки прогнозування і т.п.
