Механічні гармонічні коливання

Теоретичний вступ

Метою даної лабораторної роботи є експериментальне дослідження загасаючих електромагнітних коливань у коливальному контурі та визначення їх характеристик.

Коливання – це процеси, які характеризуються тим чи іншим ступенем повторюваності. Коливання називаються гармонічними, якщо залежність від часу задається функцією косинуса або синуса. Коливання можуть бути вільні (незагасаючі, загасаючі) і вимушені. Вільні коливання відбуваються під дією внутрішніх сил, які виникають у системі після виведення її з стану рівноваги. Вимушені коливання виконуються під дією зовнішніх сил, які самі змінюються періодично (за гармонічним законом). Мінімальний проміжок часу, за який виконується одне повне коливання, називається періодом коливань (, у системі СІ вимірюється ). Величина, обернена до періоду, визначає число повних коливань за одиницю часу і називається лінійною частотою .

Циклічна частота пов’язана з лінійною частотою і періодом співвідношенням

 

(1.1)

 

і визначає число коливань за одиниць часу.

В залежності від фізичної природи процесів, які повторюються, існують різні коливання. Розглянемо деякі з них, а саме, механічні коливання і електромагнітні.

Механічні гармонічні коливання

Матеріальна точка, яка підвішена на невагомій пружині, називається пружинним маятником.

Рис. 1.1

Розглянемо одновимірні коливання маятника, які відбуваються вздовж осі (рис. 1.1). При малому відхиленні від положення рівноваги на матеріальну точку діє сила пружної деформації пружини , яка намагається повернути її до положення рівноваги.

За законом Гука .

Згідно з другим законом Ньютона добуток маси точки на її прискорення дорівнює прикладеній до неї силі

 

.

 

Миттєве прискорення є другою похідною від координати за часом

 

,

 

тоді

 

.

 

Поділимо це рівняння на масу і надамо йому стандартного вигляду однорідного диференціального рівняння другого порядку

 

, (1.2)

 

, (1.3)

 

де – циклічна частота гармонічних механічних коливань.

Рівняння (1.3) називається диференціальним рівнянням гармонічних механічних коливань і має загальне рішення у вигляді

 

, (1.4)

 

де – зміщення точки відносно положення рівноваги; – фаза коливання; – початкова фаза коливання.

Фаза коливання задає величину зміщення точки у дану мить.

Система, яка здійснює коливання, називається коливальною системою або осцилятором.

Величина називається амплітудою коливання і визначає найбільше відхилення точки від положення рівноваги (див. рис.1.2).

Рис. 1.2

Отже, вільні незагасаючі (власні) гармонічні коливання у системі виникають під дією пружних або квазіпружних сил, величина яких лінійно залежить від зміщення системи відносно положення рівноваги. Амплітуда незагасаючих коливань залишається сталою. Повна механічна енергія незагасаючих коливань також залишається сталою.

Використовуючи (1.1), виразимо частоту і період гармонічних коливань пружинного маятника через циклічну частоту

 

(1.5)

 

Коливання, амплітуда яких зменшується з плином часу, називаються загасаючими коливаннями. Загасаючі коливання виникають у системах при наявності у них внутрішніх сил тертя або опору, тому повна енергія коливань з плином часу зменшується.

Для не дуже великих швидкостей руху сила опору пропорційна швидкості матеріальної точки і спрямована у протилежний бік:

 

, (1.6)

 

де – коефіцієнт опору середовища; – швидкість руху точки.

У цьому випадку на матеріальну точку діють сила пружності і сила опору середовища.

Тоді за другим законом Ньютона результуюча сила, яка діє на точку, що коливається, буде

 

.

 

Враховуючи, що , маємо

 

. (1.7)

 

Диференціальне рівняння загасаючих коливань має вигляд

 

, (1.8)

 

де – коефіцієнт загасання; – циклічна частота загасаючих коливань.

Загальне рішення рівняння загасаючих коливань (1.8) має вигляд

 

, (1.9)

 

де – початкова амплітуда коливань. Амплітуда загасаючих коливань не залишається постійною, а зменшується за експоненціальним законом

 

. (1.10)

 

Коефіцієнт загасання має фізичний зміст – це фізична величина, обернено пропорційна до часу релаксації , за який амплітуда коливань зменшується у разів ( = 2,71… – обгрунтування натуральних логарифмів)

 

. (1.11)

Циклічна частота загасаючих коливань пов’язана з частотою власних гармонічних коливань системи співвідношенням

 

. (1.12)

 

Очевидно, що < . Отже, період загасаючих коливань більший від періоду незагасаючих гармонічних коливань .

Процеси у системі будуть мати коливальний характер тільки за умови, що > . У протилежному випадкурух системи має аперіодичний характер (див.рис.1.3). Для опису загасаючих коливань доцільно ввести поняття декремента загасання і логарифмічного декремента загасання .

Декрементом загасання називається величина, яка дорівнює відношенню амплітуд коливання, що рознесені у часі на один період (двох послідовних коливань)

. (1.13)

 

Логарифмічний декремент загасання – це величина, що визначається як натуральний логарифм від декремента затухання:

. (1.14)

Враховуючи (1.11), маємо

 

,

 

тобто логарифмічний декремент – це величина, обернено пропорційна кількості коливань , після виконання яких амплітуда коливань зменшується у разів. ( = 2,71… – натуральних логарифмів )

Рис. 1.3