Проверка адекватности полученной модели

Вначале определяется дисперсия неадекватности:

(5.10)

где Y_Ru – возвращаемые моделью расчетные значения выходного параметра, которые определяют для каждого опыта путем подстановки в полученное уравнение соответствующих значений входных параметров.

Расчеты необходимых сумм сводим в таблицу.

u	X_u	d₁Xu	()²

Определяем расчетное значение критерия Фишера:

, если > ;	(5.11)
, если > .	(5.12)

Расчетное F_R значение критерия сравнивают с табличным F_Т, которое определяют по таблице приложения З при условии, что Р_D = 0,95, f{S²_восп} = N (m – 1), f{S²_над} = N – 2. Если F_R < F_T, то с вероятностью Р_D гипотеза об адекватности полученной модели принимается. Если гипотеза об адекватности отвергается, необходимо переходить к описанию процесса моделью более высокого порядка на базе другого вида эксперимента.

Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии

Значимость полученных коэффициентов оценивается с помощью критерия Стьюдента, расчетное значение которого (для каждого коэффициента) определяется по формуле:

(5.13)

где

;	(5.14)
;	(5.15)
.	(5.16)

Полученное расчетное значение t_R сравнивается с табличным t_T которое определяют по таблице приложения Д при условии, что P_D = 0,95 и число степеней свободы f{S²} = N× m – 2. Если t_R{d_i} > t_T для обоих коэффициентов значимы, то линейная связь между X и Y значима.

ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ

Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать:

¾ тему и цель лабораторной работы;

¾ необходимые теоретические сведения по теме;

¾ исходную таблицу данных (по заданию преподавателя);

¾ разработанную регрессионную модель;

¾ проверку адекватности полученной модели;

¾ оценку значимости коэффициентов регрессии;

¾ выводы по результатам построения регрессионной модели;

¾ отметку преподавателя о выполнении лабораторной работы.

Лабораторная работа № 6

РАЗРАБОТКА РЕГРЕССИОННОЙ МНОГОФАКТОРНОЙ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПО ДАННЫМ АКТИВНОГО

ЭКСПЕРИМЕНТА

Цель работы: построение регрессионной многофакторной математической модели, оценка значимости коэффициентов регрессии и определение адекватности модели.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

В настоящее время в научных исследованиях широкое применение получили математико-статистические методы планирования экспериментов, в которых математический аппарат играет активную роль, диктуя исследователю определенную схему постановки эксперимента и последовательность анализа результатов.

В задачу планирования эксперимента входит:

· выбор необходимых для эксперимента опытов, т.е. построение матрицы планирования;

· выбор методов математической обработки результатов эксперимента.

Матрица планирования эксперимента представляет собой таблицу, в которой указаны значения уровней факторов в различных сериях опытов. Матрицы планирования должны удовлетворять ряду требований:

· ортогональность – независимость получаемых коэффициентов регрессии и возможность исключения членов модели с незначимыми коэффициентами без последующего пересчета значимых коэффициентов;

· ротатабельность – постоянство дисперсии выходного параметра на равных расстояниях от центра эксперимента;

· униформность – постоянство дисперсии выходного параметра в некоторой области вокруг центра эксперимента.

Эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней исследуемых факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Он применяется для получения регрессионной многофакторной модели (РМФМ) при исследовании локального участка факторного пространства, не соответствующего его экстремальной части РИФМ, получаемая по результатам ПФЭ, имеет вид линейного полинома:

Y_R = b₀+ b₁·X₁+ … + b_М·X_М

(6.1)

или неполного полинома второго порядка:

Y_R= b₀+ b₁·X₁+ … + b_i·X_i+ …+ b₁₂x₁x₂+ … + b_ijx_ix_j + … + b_М-1·X_М-1X_M,

(6.2)

где Y_R – расчетное значение выходного параметра;

х_i – кодированные значения уровней факторов;

b_i, b_ij – значения коэффициентов регрессии;

i = 1, …, М; j = 1, …, М – номер фактора.

При факторном планировании, в отличие от традиционного (однофакторного), по величине коэффициентов регрессии b_i, b_i_j в РМФМ можно судить о влиянии на выходной параметр не только каждого фактора x_i, но и их взаимодействия x_ix_j, т.е. изменения влияния одного фактора при переходе второго фактора на другой уровень.

Разработка матрицы планирования

Для составления матрицы планирования необходимо определить требуемое количество опытов:

N = k^N,

(6.3)

где k – число уровней варьирования каждого фактора, изменяя которое можно уменьшать или увеличивать N.

Необходимо учесть, что для вычисления коэффициентов регрессии искомого уравнения (6.1) должно соблюдаться условие N ³ N_k (N_k – число коэффициентов регрессия в РМФМ), а для оценки адекватности полученной модели это условие усиливается, т.е. N > N_k.

В матрице планирования используются кодированные значения уровней фактора:

(-) – нижний уровень фактора (равен -1);

(+) – верхний уровень фактора (равен +1).

Например, для двухуровневого трехфакторного эксперимента (2³) матрица ПФЭ содержит восемь опытов (форма таблицы приведена ниже). Для изучения описываемой методики можно воспользоваться значениями, приведенными в приложении И.

Факторы

Сочетания

Y_ui

S²{Y}

x₀

x₁

x₂

x₃

x₁x₂

x₁x₃

x₂x₃

x₁x₂x₃

Y_u1

Y_u2

k_i

Обработку результатов ПФЭ проводят в следующем порядке.