Таблица 3.1. Используемые обозначения
| Обозначение | Наименование | ||||
| a, b a, b, c | отрезки, отсекаемые прямой на плоскости на осях координат отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат | ||||
| k k 1, k 2 | угловой коэффициент прямой на плоскости угловые коэффициенты прямых на плоскости | ||||
| M (x, y) M (x, y, z) | текущая точка прямой на плоскости текущая точка плоскости или прямой в пространстве | ||||
| M o(x o, y o), M 1(x 1, y 1), M 2(x 2, y 2), M 3(x 3, y 3) | координаты фиксированных точек на плоскости | ||||
| M o(x o, y o, z o), M 1(x 1, y 1, z 1), M 2(x 2, y 2, z 2 ), M 3(x 3, y 3, z 3) | координаты фиксированных точек в пространстве | ||||
| n = (A, B) n 1 = (A 1, B 1) n 2 = (A 2, B 2) | нормальный вектор прямой на плоскости нормальные векторы прямых на плоскости | ||||
| n = (A, B, C) n 1 = (A 1, B 1, C 1) n 2 = (A 2, B 2, C 2) | нормальный вектор плоскости нормальные векторы плоскостей | ||||
| q = (l, m) q 1 = (l 1, m 1) q 2 = (l 2, m 2) | направляющий вектор прямой на плоскости направляющие векторы прямых на плоскости | ||||
| q =(l, m, n) q 1 = (l 1, m 1, n 1) q 2 = (l 2, m 2, n 2) | направляющий вектор прямой в пространстве 1) направляющие векторы прямых в пространстве 2) направляющие векторы плоскости | ||||
| r = (x, y) r = (x, y, z) | радиус-вектор текущей точки прямой на плоскости радиус-вектор текущей точки плоскости или прямой | ||||
| r o = (x o, y o) r o = (x o, y o, z o) | радиус-вектор фиксированной точки на плоскости радиус-вектор фиксированной точки в пространстве | ||||
| t | переменный параметр | ||||
| j | 1) угол между двумя прямыми на плоскости или в пространстве 2) угол между двумя плоскостями 3) угол между прямой и плоскостью | ||||
Таблица 3.2. Уравнения прямой на плоскости
| Уравнение | Наименование | Параметры |
| rn+ C = 0 | общее векторное уравнение прямой, проходящей перпендикулярно нормальному вектору | n = (A, B) – нормальный вектор прямой; (x o, y o), (x 1, y 1), (x 2, y 2) - координаты фиксированных точек на прямой; r = (x, y) – радиус-вектор текущей точки прямой; r o = (x o, y o) – радиус- вектор фиксированной точки на прямой; k - угловой коэффициент прямой; a - отрезок, отсекаемый прямой на оси 0 x; b - отрезок, отсекаемый прямой на оси 0 y; t - параметр; q = (l, m) - направляющий вектор прямой |
| r = r o + qt | векторное параметрическое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку параллельно направляющему вектору | |
| Ax + By + C = 0 | общее уравнение прямой | |
| A (x - x o) +B (y - y o) = 0 | уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению | |
| y = kx + b | уравнение прямой с данным угловым коэффициентом | |
| y - y o = k (x - x o) | уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом | |
| каноническое уравнение прямой | |
| уравнение прямой, проходящей через две точки | |
| уравнение прямой в отрезках | |
| параметрические уравнения прямой |
Таблица 3.3. Частные случаи положения прямой на плоскости
| № п/п | Случай | Уравнение | Нормальный вектор | График прямой L | |||
| A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0, L || Ox | By + C = 0 или y = y 1 | n = (0, B), n ^ Ox |  y L
  y 1
 n
O x
| ||||
| B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0, L || Oy | Ax + C = 0 или x = x 1 | n = (A, 0), n ^ Oy |    Y
L n
O x 1 x | ||||
| C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0, L проходит через начало координат | Ax + By = 0 или y = kx | n = (A, B) | 
 x
L
 n
O x | ||||
| A = 0, C = 0, B ¹ 0, L совпадает с осью Ox | y = 0 | n = (0, 1), n ^ Ox | 
 x
n
L
  O x
| ||||
| B = 0, C = 0, A ¹ 0, L совпадает с осью Oy | x = 0 | n = (1, 0), n ^ Oy | 
x
  L n
 O x
|
Таблица 3.4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
| Прямые заданы уравнениями с параметрами | ||
| первой прямой: | второй прямой: | |
| n 1 = (A 1, B 1), q 1 = (l 1, m 1), k 1 | n 2 = (A 2, B 2), q 2 = (l 2, m 2), k 2 | |
| Угол между двумя прямыми | 1) cosj =  ;
2) cosj =  ;
3) tgj = 
| |
| Условие параллельности | 1) n 1 ||n 2 Þ  ; 2) q 1 ||q 2 Þ  ;
3) k 1 = k 2
| |
| Условие перпендикулярности | 1) n 1^ n 2 Þ n 1× n 2 = 0 или A 1 A 2+ B 1 B 2 = 0 2) q 1^ q 2 Þ q 1× q 2 = 0 или l 1 l 2+ m 1 m 2 = 0 3) k 1× k 2 = -1 | |
Таблица 3.5. Уравнения плоскости в пространстве
| Уравнение | Наименование | Параметры | |
| rn+ D = 0 | общее векторное уравнение плоскости, проходящей перпендикулярно нормальному вектору | r = (x, y, z) – радиус-вектор текущей точки плоскости; n = (A, B, C) - нормальный вектор плоскости; q 1и q 2 – направляющие векторы плоскости; (x o, y o, z o), (x 1, y 1, z 1), (x 2, y 2, z 2 ), (x 3, y 3, z 3) - координаты фиксированных точек на плоскости; a, b, c - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат | |
| (q 1´ q 2) r+ D = 0 | векторное уравнение плоскости, проходящей, проходящей параллельно двум направляющим векторам | ||
| Ax+By+Cz+D = 0 | общее уравнение | ||
| A (x - x o) +B (y - y o) + + C (z - z o) = 0 | уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению | ||
| уравнение плоскости, проходящей через три точки | ||
| уравнение плоскости в отрезках | ||
Таблица 3.6. Частные случаи положения плоскости в пространстве
| № п/п | Случай | Уравнение | Положение плоскости P |
| A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0, D ¹ 0 | By + Cz + D = 0 | P || Ox | |
| B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0, D ¹ 0 | Ax + Cz + D = 0 | P || Oy | |
| C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0, D ¹ 0 | Ax + By + D = 0 | P || Oz | |
| D = 0, A ¹ 0, B ¹ 0, C ¹ 0 | Ax + By + Cz = 0 | P проходит через начало координат | |
| A = 0, B = 0, C ¹ 0, D ¹ 0 | Cz + D = 0 | P || Oxy | |
| A = 0, C = 0, B ¹ 0, D ¹ 0 | By + D = 0 | P || Oxz | |
| B = 0, C = 0, A ¹ 0, D ¹ 0 | Ax + D = 0 | P || Oyz | |
| A = 0, D = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 | By + Cz = 0 | P проходит через ось Ox | |
| B = 0, D = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 | Ax + Cz = 0 | P проходит через ось Oy | |
| C = 0, D = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 | Ax + By = 0 | P проходит через ось Oz | |
| A = 0, B = 0, D = 0, C ¹ 0 | z = 0 | P совпадает с Oxy | |
| A = 0, C = 0, D = 0, B ¹ 0 | y = 0 | P совпадает с Oxz | |
| B = 0, C = 0, D = 0, A ¹ 0 | x = 0 | P совпадает с Oyz |
Таблица 3.7. Взаимное расположение двух плоскостей
| Плоскости заданы уравнениями с параметрами | ||
| первой плоскости: | второй плоскости: | |
| n 1 = (A 1, B 1, C 1) | n 2 = (A 2, B 2, C 2) | |
| Угол между двумя плоскостями | cosj = 
| |
| Условие параллельности | n 1 ||n 2 Þ 
| |
| Условие перпендикулярности | n 1 ^ n 2 Þ n 1× n 2 = 0 или A 1 A 2+ B 1 B 2 + C 1 C 2= 0 | |
Таблица 3.8. Уравнения прямой в пространстве
| Уравнение | Наименование | Параметры |
| r = r o + qt | векторное параметрическое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку параллельно направляющему вектору | r = (x, y, z) – радиус-вектор текущей точки прямой; r o = (x o, y o, z o) – радиус-вектор фиксированной точки на прямой; n 1 = (A 1, B 1, C 1), n 2 = (A 2, B 2, C 2) - нормальные векторы плоскостей; |
| (r - r o) ´ q = o | векторное уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку параллельно направляющему вектору | |
| общие уравнения прямой | |
| канонические уравнения | q = (l, m, n) - |
| уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки | направляющий вектор прямой; t - параметр; |
| параметрические уравнения прямой | (x o, y o, z o), (x 1, y 1, z 1), (x 2, y 2, z 2) - координаты фиксированных точек на прямой |
Таблица 3.9. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
| Направляющие векторы | ||
| первой прямой: | второй прямой: | |
| q 1 = (l 1, m 1, n 1) | q 2 = (l 2, m 2, n 2) | |
| Угол между двумя прямыми | cosj = 
| |
| Условие параллельности | q 1 ||q 2 Þ 
| |
| Условие ортогональности | q 1 ^ q 2 Þ q 1× q 2 = 0 или l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 | |
Таблица 3.10. Взаимное расположение прямой и плоскости
| Направляющий вектор прямой: | Нормальный вектор плоскости: |
| q = (l, m, n); точка на прямой: M o(x o, y o, z o) | n = (A, B, C) |
| Угол между прямой и плоскостью | sinj =
= 
|
| Условие параллельности | n ^ q Þ n × q = 0 или Al + Bm + Cn = 0 |
| а) прямая не лежит в плоскости | Ax o+ By o+ Cz o + D ¹ 0 |
| б) прямая лежит в плоскости | Ax o+ By o+ Cz o + D = 0 |
| Условие пересечения прямой и плоскости | n × q ¹ 0 или Al + Bm + Cn ¹ 0 |
| Условие перпендикулярности | n||q Þ 
|
Таблица 3.11. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в
пространстве
| Расстояние от точки M 1(x 1, y 1) до прямой на плоскости Ax + By + C = 0 Частный случай Расстояние от начала координат до прямой Ax + By + C = 0 | d = 
d = 
|
| Расстояние от точки M 1(x 1, y 1, z 1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 Частный случай Расстояние от начала координат до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 | d = 
d = 
|
