Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии

Таблица 3.1. Используемые обозначения

Обозначение	Наименование
a, b a, b, c	отрезки, отсекаемые прямой на плоскости на осях координат отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат
k k 1, k 2	угловой коэффициент прямой на плоскости угловые коэффициенты прямых на плоскости
M (x, y) M (x, y, z)	текущая точка прямой на плоскости текущая точка плоскости или прямой в пространстве
M o(x o, y o), M 1(x 1, y 1), M 2(x 2, y 2), M 3(x 3, y 3)	координаты фиксированных точек на плоскости
M o(x o, y o, z o), M 1(x 1, y 1, z 1), M 2(x 2, y 2, z 2 ), M 3(x 3, y 3, z 3)	координаты фиксированных точек в пространстве
n = (A, B) n 1 = (A 1, B 1) n 2 = (A 2, B 2)	нормальный вектор прямой на плоскости   нормальные векторы прямых на плоскости
n = (A, B, C) n 1 = (A 1, B 1, C 1) n 2 = (A 2, B 2, C 2)	нормальный вектор плоскости   нормальные векторы плоскостей
q = (l, m) q 1 = (l 1, m 1) q 2 = (l 2, m 2)	направляющий вектор прямой на плоскости   направляющие векторы прямых на плоскости
q =(l, m, n) q 1 = (l 1, m 1, n 1) q 2 = (l 2, m 2, n 2)	направляющий вектор прямой в пространстве 1) направляющие векторы прямых в пространстве 2) направляющие векторы плоскости
r = (x, y) r = (x, y, z)	радиус-вектор текущей точки прямой на плоскости радиус-вектор текущей точки плоскости или прямой
r o = (x o, y o) r o = (x o, y o, z o)	радиус-вектор фиксированной точки на плоскости радиус-вектор фиксированной точки в пространстве
t	переменный параметр
j	1) угол между двумя прямыми на плоскости или в пространстве 2) угол между двумя плоскостями 3) угол между прямой и плоскостью

 

 

 

Таблица 3.2. Уравнения прямой на плоскости

Уравнение	Наименование	Параметры
rn+ C = 0	общее векторное уравнение прямой, проходящей перпендикулярно нормальному вектору	n = (A, B) – нормальный вектор прямой;   (x o, y o), (x 1, y 1), (x 2, y 2) - координаты фиксированных точек на прямой; r = (x, y) – радиус-вектор текущей точки прямой; r o = (x o, y o) – радиус- вектор фиксированной точки на прямой; k - угловой коэффициент прямой; a - отрезок, отсекаемый прямой на оси 0 x; b - отрезок, отсекаемый прямой на оси 0 y; t - параметр; q = (l, m) - направляющий вектор прямой
r = r o + qt	векторное параметрическое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку параллельно направляющему вектору
Ax + By + C = 0	общее уравнение прямой
A (x - x o) +B (y - y o) = 0	уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению
y = kx + b	уравнение прямой с данным угловым коэффициентом
y - y o = k (x - x o)	уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
	каноническое уравнение прямой
	уравнение прямой, проходящей через две точки
	уравнение прямой в отрезках
	параметрические уравнения прямой

 

 

Таблица 3.3. Частные случаи положения прямой на плоскости

 

№ п/п	Случай	Уравнение	Нормальный вектор	График прямой L
	A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0, L || Ox	By + C = 0 или y = y 1	n = (0, B), n ^ Ox	y L y 1 n O x
	B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0, L || Oy	Ax + C = 0 или x = x 1	n = (A, 0), n ^ Oy	Y L n O x 1 x
	C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0, L проходит через начало координат	Ax + By = 0 или y = kx	n = (A, B)	x L n O x
	A = 0, C = 0, B ¹ 0, L совпадает с осью Ox	y = 0	n = (0, 1), n ^ Ox	x n L O x
	B = 0, C = 0, A ¹ 0, L совпадает с осью Oy	x = 0	n = (1, 0), n ^ Oy	x L n   O x

 

Таблица 3.4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Прямые заданы уравнениями с параметрами
первой прямой:	второй прямой:
n 1 = (A 1, B 1), q 1 = (l 1, m 1), k 1	n 2 = (A 2, B 2), q 2 = (l 2, m 2), k 2
Угол между двумя прямыми	1) cosj = ; 2) cosj = ; 3) tgj =
Условие параллельности	1) n 1 ||n 2 Þ ; 2) q 1 ||q 2 Þ ; 3) k 1 = k 2
Условие перпендикулярности	1) n 1^ n 2 Þ n 1× n 2 = 0 или A 1 A 2+ B 1 B 2 = 0 2) q 1^ q 2 Þ q 1× q 2 = 0 или l 1 l 2+ m 1 m 2 = 0 3) k 1× k 2 = -1

 

Таблица 3.5. Уравнения плоскости в пространстве

Уравнение	Наименование	Параметры
rn+ D = 0	общее векторное уравнение плоскости, проходящей перпендикулярно нормальному вектору	r = (x, y, z) – радиус-вектор текущей точки плоскости; n = (A, B, C) - нормальный вектор плоскости; q 1и q 2 – направляющие векторы плоскости; (x o, y o, z o), (x 1, y 1, z 1), (x 2, y 2, z 2 ), (x 3, y 3, z 3) - координаты фиксированных точек на плоскости; a, b, c - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат
(q 1´ q 2) r+ D = 0	векторное уравнение плоскости, проходящей, проходящей параллельно двум направляющим векторам
Ax+By+Cz+D = 0	общее уравнение
A (x - x o) +B (y - y o) + + C (z - z o) = 0	уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению
	уравнение плоскости, проходящей через три точки
	уравнение плоскости в отрезках

 

 

Таблица 3.6. Частные случаи положения плоскости в пространстве

№ п/п	Случай	Уравнение	Положение плоскости P
	A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0, D ¹ 0	By + Cz + D = 0	P || Ox
	B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0, D ¹ 0	Ax + Cz + D = 0	P || Oy
	C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0, D ¹ 0	Ax + By + D = 0	P || Oz
	D = 0, A ¹ 0, B ¹ 0, C ¹ 0	Ax + By + Cz = 0	P проходит через начало координат
	A = 0, B = 0, C ¹ 0, D ¹ 0	Cz + D = 0	P || Oxy
	A = 0, C = 0, B ¹ 0, D ¹ 0	By + D = 0	P || Oxz
	B = 0, C = 0, A ¹ 0, D ¹ 0	Ax + D = 0	P || Oyz
	A = 0, D = 0, B ¹ 0, C ¹ 0	By + Cz = 0	P проходит через ось Ox
	B = 0, D = 0, A ¹ 0, C ¹ 0	Ax + Cz = 0	P проходит через ось Oy
	C = 0, D = 0, A ¹ 0, C ¹ 0	Ax + By = 0	P проходит через ось Oz
	A = 0, B = 0, D = 0, C ¹ 0	z = 0	P совпадает с Oxy
	A = 0, C = 0, D = 0, B ¹ 0	y = 0	P совпадает с Oxz
	B = 0, C = 0, D = 0, A ¹ 0	x = 0	P совпадает с Oyz

 

Таблица 3.7. Взаимное расположение двух плоскостей

Плоскости заданы уравнениями с параметрами
первой плоскости:	второй плоскости:
n 1 = (A 1, B 1, C 1)	n 2 = (A 2, B 2, C 2)
Угол между двумя плоскостями	cosj =
Условие параллельности	n 1 ||n 2 Þ
Условие перпендикулярности	n 1 ^ n 2 Þ n 1× n 2 = 0 или A 1 A 2+ B 1 B 2 + C 1 C 2= 0

 

Таблица 3.8. Уравнения прямой в пространстве

Уравнение	Наименование	Параметры
r = r o + qt	векторное параметрическое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку параллельно направляющему вектору	r = (x, y, z) – радиус-вектор текущей точки прямой;   r o = (x o, y o, z o) – радиус-вектор фиксированной точки на прямой; n 1 = (A 1, B 1, C 1), n 2 = (A 2, B 2, C 2) - нормальные векторы плоскостей;
(r - r o) ´ q = o	векторное уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку параллельно направляющему вектору
	общие уравнения прямой
	канонические уравнения	q = (l, m, n) -
	уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки	направляющий вектор прямой; t - параметр;
	параметрические уравнения прямой	(x o, y o, z o), (x 1, y 1, z 1), (x 2, y 2, z 2) - координаты фиксированных точек на прямой

 

 

Таблица 3.9. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Направляющие векторы
первой прямой:	второй прямой:
q 1 = (l 1, m 1, n 1)	q 2 = (l 2, m 2, n 2)
Угол между двумя прямыми	cosj =
Условие параллельности	q 1 ||q 2 Þ
Условие ортогональности	q 1 ^ q 2 Þ q 1× q 2 = 0 или l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

 

Таблица 3.10. Взаимное расположение прямой и плоскости

Направляющий вектор прямой:	Нормальный вектор плоскости:
q = (l, m, n); точка на прямой: M o(x o, y o, z o)	n = (A, B, C)
Угол между прямой и плоскостью	sinj = =
Условие параллельности	n ^ q Þ n × q = 0 или Al + Bm + Cn = 0
а) прямая не лежит в плоскости	Ax o+ By o+ Cz o + D ¹ 0
б) прямая лежит в плоскости	Ax o+ By o+ Cz o + D = 0
Условие пересечения прямой и плоскости	n × q ¹ 0 или Al + Bm + Cn ¹ 0
Условие перпендикулярности	n||q Þ

 

Таблица 3.11. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в

пространстве

Расстояние от точки M 1(x 1, y 1) до прямой на плоскости Ax + By + C = 0   Частный случай Расстояние от начала координат до прямой Ax + By + C = 0	d =   d =
Расстояние от точки M 1(x 1, y 1, z 1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0   Частный случай Расстояние от начала координат до плоскости Ax + By + Cz + D = 0	d =   d =