1.1.
det, | |, Δ | ||
det A, | A | | A | |
(), || || | ||
A = || aij || = (aij), B = | bij || = (bij), C = || cij || = (cij) | ||
aij, bij, cij | , i - j - | |
i - A | ||
; - | ||
a 1, a 2,, an | ||
j - A | ||
; - | ||
b 1, b 2,, bn | ||
E | ||
A -1 | ||
A T | ||
Aij | aij A | |
Mij | aij | |
x, y, z, x 1, x 2, | ||
b 1, b 2, | ||
1.2.
m ´ n ( ) , m - , n - | A = | ||||||
, aij - , i - j - | A = (aij) = || aij ||, 1£ i £ m, 1£ j £ n | ||||||
n , | A = | ||||||
, | a 11, a 22, , ann | ||||||
, | a 1 n , a 2,n-1, , an 1 | ||||||
-: A = (a 11, a 12, , a 1 n ) A = (a 1, a 2, , an) | -: A = A = | ||||||
, | |||||||
, , , , .. aij = 0 i ¹ j | |||||||
, , 1, .. aii = 0 i | |||||||
, aij = aji, .. , , | |||||||
, ( ) . | |||||||
() | A, | ||||||
() | , | ||||||
1.3.
, | ||
A B = C | . | , cij = aij bij. |
l A = B | . | , bij =l aij. |
= | . | c = a 1 b 1 + a 2 b 2 ++ anbn |
AB = C A (m ´ l), B (l ´ n) | : . | C (m ´ n), cij = = |
A = (aij) | . | A T = (aji), .. , A . |
. () .
|
|
1.4.
1. () | A + B = B + A |
2. () | A + (B + C) = (A + B) + C |
3. () | α (β A) = β(α A) |
4. () | α (A + B) = α A + α B |
5. () | (α + β) A = α A + β A |
1.5.
- | ||
n | 1) (i -) (j -) , : , Aij = (1) i + j Mij. 2) . | |
1) : a 11 a 22 - a 21 a 12. 2) : + - | ||
1) : a 11 a 22 a 33+ a 12 a 23 a 31+ a 32 a 21 a 13 - -(a 13 a 31 a 22+ a 12 a 21 a 33+ a 23 a 32 a 11) 2) ( , ): + - |
1.6.
/ | |
, , , , . 1. . 2. , .. . | |
( ) . 1. () , .. ( ) ( ). 2. ( ) . | |
( ) . | |
( ) . . . | |
- ( ) , , ( ), , , ( ) , . | |
, ( ) ( ), . |
|
|
1.7.
A -1 A, A -1 A = A A -1= E, E - . | ||||
A -1 A | det A ¹ 0 | |||
det A -1 = | ||||
det (A -1 A) = det (A A -1) = det A -1×det A = 1 | ||||
(A -1)-1 = A | ||||
A -1 = , - A; Aij - aij A. | ||||
A , A E. E A -1. A E , .. . | ||||
. .
1.8. A
1. A |
2. A |
3. A |
4. A |
5. A |
6. A |
. , A .
1.9.
1. . |
2. . |
3. . |
4. . |
5. . |
1.10.
, m n : |
, m n : |
n n : xj = , D = det A - ; A = || aij || - ; D j - , j - A . . : det A ¹ 0. |
m n : A | B, A - ; ( ) ( ). |
1.11.
( , , )
|
|
AX = B | X = A -1 B |
XA = B | X = B A -1 |
A 1 X A 2 = B | X = |
: A, A 1, A 2 - ; - -; - -; - ; - ; B ; X - |
1.12.
: A - ; B - ; A | B ; r (A) r (A | B) - A A | B; m ; n |
¯ ¯
: A | B, B ¹ O | : A | O |
..