Раздел 2. Векторная алгебра

Таблица 2.1. Используемые обозначения

Обозначение	Наименование
a, b, c,	Вектор
| a |, ||	Модуль вектора
ax, ay, az	Координаты вектора в декартовых координатах
r 1 = (x 1, y 1, z 1), r 2 = (x 2, y 2, z 2)	Радиус-векторы точек с координатами (x 1, y 1, z 1), (x 2, y 2, z 2)
a · b, ab	Скалярное произведение
a 2	Скалярный квадрат
пр b a	Проекция вектора a на вектор b
a ´ b	Векторное произведение
^	Знак ортогональности двух векторов
||	Знак коллинеарности двух векторов
Ð	Знак угла
abc, (abc)	Смешанное произведение трех векторов

Таблица 2.2. Геометрический вектор

Наименование	Обозначение, формула
Вектор и его выражение в декартовых координатах	a = ax i + ay j + az k = (ax, ay, az)
Модуль вектора
Направляющие косинусы вектора и их свойство	; cos2a + cos2b + cos2g = 1
Сложение двух векторов	a + b = (ax + bx, ay + by, az + bz)
Умножение вектора на скаляр	l a = (l ax, l ay, l az)
Вектор с началом в точке A (x 1, y 1, z 1) и с концом в точке B (x 2, y 2, z 2)	= (x 2- x 1) i + (y 2- y 1) j + (z 2- z 1) k
Длина отрезка AB, заданного граничными точками A (x 1, y 1, z 1) и B (x 2, y 2, z 2)	l = | r 2- r 1 |; l =
Условие коллинеарности двух векторов a и b (a || b)	l a = b или
Проекция вектора a на вектор b	пр b a = | a | cos j, j =Ð(a, b)
Деление отрезка AB в данном отношении l = AC / CB, где A (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2), С (x, y, z)   Частный случай: деление отрезка пополам
Длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a и b	d 1,2 = | a ± b |; d 1,2 =

Таблица 2.3. Скалярное произведение

Наименование	Обозначение, формула
Определение скалярного произведения двух векторов	ab = | a |×| b | cosj, j =Ð(a, b)
Таблица скалярного умножения в декартовых координатах	×	i	j	k
i
j
k
Скалярное произведение в декартовых координатах	ab = axbx + ayby+ azbz
Скалярный квадрат	a 2 = | a |2 =
Свойства: 1) переместительное 2) сочетательное относительно скалярного множителя 3) распределительное	ab = ba l(ab) = (l a) b = a (l b) a (b + c) = ab + ac
Условие ортогональности двух ненулевых векторов	ab = 0 a ^ b
Условие ортогональности в декартовых координатах	axbx + ayby+ azbz = 0
Приложения: 1) Угол между двумя векторами   2) Проекция вектора a на вектор b	cosj = = пр b a =

Таблица 2.4. Векторное произведение

Наименование	Обозначение, формула
Определение векторного произведения двух векторов	a ´ b = c, | c | = | a |×| b | sin j, j =Ð(a, b), c ^ a, c ^ b (a, b, c) - правая тройка векторов
Таблица векторного умножения в декартовых координатах	´	i	j	k
i	o	k	- j
j	- k	o	i
k	j	- i	o
Векторное произведение в декартовых координатах
Свойства: 1) антипереместительное 2) сочетательное относительно скалярного множителя 3) распределительное	a ´ b = - b ´ a l(a ´ b) = (l a)´ b = a ´(l b) a ´(b + c) = a ´ b + a ´ c
Условие коллинеарности двух ненулевых векторов	a||b
Условие коллинеарности в декартовых координатах
Приложения: 1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах 2) Площадь треугольника, две стороны которого образованы данными векторами a и b	| a ´ b | =   | a ´ b | =

Обозначения:

- миноры элементов i, j, k соответственно в определителе для

векторного произведения в декартовых координатах

Таблица 2.5. Смешанное произведение

Наименование	Обозначение, формула
Определение и обозначение смешанного произведения трех векторов	(a ´ b)× c = abc
Смешанное произведение в декартовых координатах
Свойства: 1) изменение знака при перестановке двух сомножителей 2) не изменяется при циклической перестановке сомножителей 3) векторы a, b, c образуют в порядке следования а) правую тройку векторов, если б) левую тройку векторов, если	abc = - acb = - cba = - bac abc = bca = cab abc > 0 abc < 0
Условие компланарности трех ненулевых векторов	abc =0 a, b, c - компланарны
Условие компланарности в декартовых координатах
Приложения: 1) Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c как на ребрах 2) Объем треугольной призмы, построенной на векторах a, b, c как на ребрах 3) Объем тетраэдра, построенного на векторах как на ребрах a, b, c	| abc | | abc | | abc |