Раздел 4. Кривые второго порядка

Алгебраическая кривая – плоская кривая, координаты точек которой удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0, где левая часть – многочлен; степень многочлена называется порядком алгебраической кривой.

Большая ось эллипса – длина хорды эллипса, расположенная на фокальной оси эллипса.

Большая полуось эллипса – половина большой оси эллипса.

Гипербола – плоская кривая (алгебраическая кривая второго порядка), каноническое уравнение которой в декартовых координатах имеет вид: . См. Равнобочная гипербола.

Главные направления квадратичной формы – направления осей симметрии соответствующей кривой второго порядка; квадратичная форма имеет два главных направления.

Действительная ось гиперболы – длина отрезка между вершинами гиперболы.

Действительная полуось гиперболы – половина действительной оси гиперболы.

Канонический вид квадратичной формы – вид квадратичной формы, содержащей только квадраты переменных, т.е. F (x, y) = l₁ x ² + l₂ y ².

Каноническое уравнение кривой второго порядка - уравнение кривой в декартовых координатах, в котором хотя бы одна переменная была в квадрате, и система координат расположена определенным образом по отношению к к кривой (см. соответствующую таблицу).

Квадратичная форма – однородный многочлен второй степени, в данном разделе содержит две переменные: F (x, y) = a ₁₁ x ² + 2 a ₁₂ xy + a ₂₂ y ².

Коническое сечение см. Кривая второго порядка.

Кривая второго порядка (Линия второго порядка, коническое сечение) – алгебраическая кривая, уравнение которой в декартовых координатах содержит одну или обе координаты в квадрате.

Кривая на плоскости см. Линия на плоскости.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Линия на плоскости (Кривая на плоскости) – множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению F (x, y) = 0.

Малая ось эллипса – длина хорды эллипса, расположенной на оси перпендикулярной фокальной оси эллипса.

Малая полуось эллипса – половина малой оси эллипса.

Матрица квадратичной формы – симметричная матрица, составленная из коэффициентов квадратичной формы (см. соответствующую таблицу).

Матрица поворота к главным направлениям квадратичной формы (кривой второго порядка) – матрица, элементами которой являются тригонометрические функции и которая находится по определенному правилу (см. соответствующую таблицу).

Мнимая ось гиперболы – ось, сопряженная действительной оси гиперболы.

Мнимая полуось гиперболы – половина мнимой оси гиперболы.

Нецентральная кривая второго порядка - кривая второго порядка, не имеющая центра симметрии; такой кривой является парабола.

Общее уравнение кривой второго порядка – уравнение второй степени, содержащее квадратичную форму, линейную часть и свободный член:

a ₁₁ x ² + 2 a ₁₂ xy + a ₂₂ y ² + 2 b ₁ x + 2 b ₂ y + c = 0.

Окружность – плоская кривая, все точки которой находятся на данном расстоянии от фиксированной точки (центра окружности).

Ось симметрии – прямая, относительно которой симметрично отображаются точки пространства, плоскости или прямой.

Парабола - алгебраическая кривая второго порядка, каноническое уравнение которой в декартовых координатах имеет вид: y ² =2 px или x ² =2 py.

Параллельный перенос осей координат – переход к новой системе координат, при котором меняется положение начала координат, а направление осей координат и масштаб остаются неизменными.