15.17. Написать уравнение окружности, проходящей через точки
(– 1; 3), (0; 2), (1; – 1).
15.18. Написать уравнение окружности, если ее центр лежит в точке
C (– 4; 5) и окружность проходит через точку M (– 1; 1).
15.19. Составить уравнение окружности, проходящей через точки
A (3; 5), B (5; – 1),если ее центр лежит на прямой x – y – 2 = 0.
15.20. Найти уравнения касательных к окружности x 2 + y 2 = 5,
параллельных прямой y = 2 x + 1.
15.21. Составить уравнения касательных к эллипсу 
,
параллельных прямой 3 x + 2 y + 7 = 0.
15.22. Составить уравнения касательных к эллипсу x 2 + 4 y 2 = 20,
перпендикулярных прямой 2 x – 2 y – 13 = 0.
15.23. Составить уравнения касательных к гиперболе 
,
параллельных прямой 10 x – 3 y + 9 = 0.
15.24. Составить уравнения касательных к гиперболе 
,
перпендикулярных прямой 4 x + 3 y – 7 = 0.
15.25. Написать уравнение касательной к параболе y 2 = 8 x,
параллельной прямой 2 x + 2 y – 3 = 0.
15.26. Написать уравнение касательной к параболе x 2 = 16 y,
перпендикулярной прямой 2 x + 4 y + 7 = 0.
Ответы к занятию 15
15.1. a) C (2, – 3), R = 4; б) C (4, 0), R = 4.
15.2. a) a = 5, b = 3; б) F (
4, 0); в) e = 4/5. 15.3. 
.
15.4. a) a = 3, b = 4; б) F ( 5, 0); в) e = 5/3; г) y = (4/3) x. 15.5. 
.
15.6. a) p = 3; б) p = – 1/2. 15.7. y 2 = – 3 x. 15.8. 12.
15.9. a) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 49; б) (x – 1)2 + (y – 4)2 = 8.
15.10. a) x 2/9 + y 2/4 =1; б) x 2/25 + y 2/9 =1; в) x 2/25 + y 2/16 =1; г) x 2/169+ y 2/25 =1.
15.11. 
. 15.12.a) x 2/4 – y 2/9 = 1; б) x 2/9 – y 2/16 = 1;
в) x 2/4 – y 2/5 = 1; г) x 2/64 – y 2/36 = 1; д) x 2/36 – y 2/64 = 1.
15.13. 
. 15.14. а) p = 5/2; б) p = – 2. 15.15. x 2 = y. 15.16. 24.
15.17. (x + 4)2 + (y + 1)2 = 25. 15.18. (x + 4)2 + (y – 5)2 = 25.
15.19. (x – 4)2 + (y – 2)2 = 10. 15.20. y = 2 x ± 5. 15.21. 3 x + 2 y ± 10 = 0.
15.22. x + y ± 5 = 0. 15.23. 10 x – 3 y ± 32 = 0. 15.24. 3 x – 4 y ± 10 = 0.
15.25. x + y + 2 = 0. 15.26. 2 x – y – 16 = 0.
Занятие 16. Упрощение уравнений кривых второго порядка
Изучаемый материал: преобразование координатного базиса; поворот и параллельный перенос осей координат; квадратичная форма, ее матрица, собственные числа и собственные векторы; вычисление собственных чисел и собственных векторов; матрица поворота к главным направлениям; приведение квадратичной формы к каноническому виду; упрощение уравнений кривых второго порядка.
| 1. Параллельный перенос осей координат | 6.1 - 6.3 | 6.8 - 6.10 | |
| 2. Квадратичная форма | 6.4 | 6.11 | |
| 3. Поворот и параллельный перенос осей координат | 6.5 - 6.7 | 6.12 - 6.14 | 6.15 - 6.17 |
При приведении уравнения кривой к каноническому виду рекомендуется руководствоваться следующим правилом:
1) выделить квадратичную форму, найти ее матрицу;
2) найти собственные числа и собственные векторы;
3) найти матрицу поворота к главным направлениям;
4) найти канонический вид квадратичной формы;
5) преобразовать линейную часть общего уравнения к повернутым
координатам;
6) выполнить алгебраические преобразования для параллельного переноса
осей координат в центр или в вершину кривой;
7) записать каноническое уравнение кривой.
16.1. Установить, что данное уравнение определяет эллипс, найти его центр C, полуоси и эксцентриситет: 5 x 2 + 9 y 2 – 30 x + 18 y + 9 = 0.
16.2. Установить, что данное уравнение определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет и уравнения асимптот:
16 x 2 – 9 y 2 – 64 x – 54 y – 161 = 0.
16.3. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найти координаты ее вершины А и величину параметра p:
а) y 2 = 4 x – 8; б) y = – 
x 2 + 2 x – 7.
| 16.4. Записать квадратичную форму, порожденную матрицей: | а)  ;
| б)  .
|
Привести уравнение кривой к каноническому виду:
16.5. 9 x 2 – 4 xy + 6 y 2 + 16 x – 8 y – 2 = 0.
16.6. x 2 – 2 xy + y 2 – 10 x – 6 y + 25 = 0.
16.7. 32 x 2 + 52 xy – 7 y 2 + 180 = 0.
