Дополнительное задание 15

15.17. Написать уравнение окружности, проходящей через точки

(– 1; 3), (0; 2), (1; – 1).

15.18. Написать уравнение окружности, если ее центр лежит в точке

C (– 4; 5) и окружность проходит через точку M (– 1; 1).

15.19. Составить уравнение окружности, проходящей через точки

A (3; 5), B (5; – 1),если ее центр лежит на прямой x – y – 2 = 0.

15.20. Найти уравнения касательных к окружности x ² + y ² = 5,

параллельных прямой y = 2 x + 1.

15.21. Составить уравнения касательных к эллипсу ,

параллельных прямой 3 x + 2 y + 7 = 0.

15.22. Составить уравнения касательных к эллипсу x ² + 4 y ² = 20,

перпендикулярных прямой 2 x – 2 y – 13 = 0.

15.23. Составить уравнения касательных к гиперболе ,

параллельных прямой 10 x – 3 y + 9 = 0.

15.24. Составить уравнения касательных к гиперболе ,

перпендикулярных прямой 4 x + 3 y – 7 = 0.

15.25. Написать уравнение касательной к параболе y ² = 8 x,

параллельной прямой 2 x + 2 y – 3 = 0.

15.26. Написать уравнение касательной к параболе x ² = 16 y,

перпендикулярной прямой 2 x + 4 y + 7 = 0.

Ответы к занятию 15

15.1. a) C (2, – 3), R = 4; б) C (4, 0), R = 4.

15.2. a) a = 5, b = 3; б) F ( 4, 0); в) e = 4/5. 15.3. .

15.4. a) a = 3, b = 4; б) F ( 5, 0); в) e = 5/3; г) y = (4/3) x. 15.5. .

15.6. a) p = 3; б) p = – 1/2. 15.7. y ² = – 3 x. 15.8. 12.

15.9. a) (x – 2)² + (y + 3)² = 49; б) (x – 1)² + (y – 4)² = 8.

15.10. a) x ²/9 + y ²/4 =1; б) x ²/25 + y ²/9 =1; в) x ²/25 + y ²/16 =1; г) x ²/169+ y ²/25 =1.

15.11. . 15.12.a) x ²/4 – y ²/9 = 1; б) x ²/9 – y ²/16 = 1;

в) x ²/4 – y ²/5 = 1; г) x ²/64 – y ²/36 = 1; д) x ²/36 – y ²/64 = 1.

15.13. . 15.14. а) p = 5/2; б) p = – 2. 15.15. x ² = y. 15.16. 24.

15.17. (x + 4)² + (y + 1)² = 25. 15.18. (x + 4)² + (y – 5)² = 25.

15.19. (x – 4)² + (y – 2)² = 10. 15.20. y = 2 x ± 5. 15.21. 3 x + 2 y ± 10 = 0.

15.22. x + y ± 5 = 0. 15.23. 10 x – 3 y ± 32 = 0. 15.24. 3 x – 4 y ± 10 = 0.

15.25. x + y + 2 = 0. 15.26. 2 x – y – 16 = 0.

 

Занятие 16. Упрощение уравнений кривых второго порядка

Изучаемый материал: преобразование координатного базиса; поворот и параллельный перенос осей координат; квадратичная форма, ее матрица, собственные числа и собственные векторы; вычисление собственных чисел и собственных векторов; матрица поворота к главным направлениям; приведение квадратичной формы к каноническому виду; упрощение уравнений кривых второго порядка.

1. Параллельный перенос осей координат	6.1 - 6.3	6.8 - 6.10
2. Квадратичная форма	6.4	6.11
3. Поворот и параллельный перенос осей координат	6.5 - 6.7	6.12 - 6.14	6.15 - 6.17

При приведении уравнения кривой к каноническому виду рекомендуется руководствоваться следующим правилом:

1) выделить квадратичную форму, найти ее матрицу;

2) найти собственные числа и собственные векторы;

3) найти матрицу поворота к главным направлениям;

4) найти канонический вид квадратичной формы;

5) преобразовать линейную часть общего уравнения к повернутым

координатам;

6) выполнить алгебраические преобразования для параллельного переноса

осей координат в центр или в вершину кривой;

7) записать каноническое уравнение кривой.

 

16.1. Установить, что данное уравнение определяет эллипс, найти его центр C, полуоси и эксцентриситет: 5 x ² + 9 y ² – 30 x + 18 y + 9 = 0.

16.2. Установить, что данное уравнение определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет и уравнения асимптот:

16 x ² – 9 y ² – 64 x – 54 y – 161 = 0.

16.3. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найти координаты ее вершины А и величину параметра p:

а) y ² = 4 x – 8; б) y = – x ² + 2 x – 7.

16.4. Записать квадратичную форму, порожденную матрицей:

а) ;

б) .

Привести уравнение кривой к каноническому виду:

16.5. 9 x ² – 4 xy + 6 y ² + 16 x – 8 y – 2 = 0.

16.6. x ² – 2 xy + y ² – 10 x – 6 y + 25 = 0.

16.7. 32 x ² + 52 xy – 7 y ² + 180 = 0.