Системы линейных уравнений

Адьюнкта см. Алгебраическое дополнение.

Алгебраическое дополнение (Адьюнкта) некоторого элемента определителя – минорэлемента, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Обозначение: A_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij.

Базисные неизвестные (Связанные неизвестные) в общем решении неопределенной системы линейных уравнений – неизвестные, которые выражены как линейные функции других неизвестных, называемых свободными; число базисных неизвестных равно числу линейно независимых уравнений системы.

Базисный минор – минор, порядок которого определяет ранг матрицы.

Вырожденная матрица (Особая матрица) - квадратная матрица, определитель которой равен нулю.

Главная диагональ матрицы (Диагональ матрицы) - совокупность элементов a ₁₁, a ₂₂, …, a_nn­ квадратной матрицы порядка n, т.е. элементов, у которых совпадают номера строки и столбца. Пояснение. Главная диагональ идет из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол.

Детерминант см. Определитель.

Диагональная матрица - квадратная матрица, у которой только элементы главной диагонали могут быть отличны от нуля. Обозначение: A _dg.

Диагональный элемент матрицы - элемент матрицы, находящийся на главной диагонали.

Единичная матрица - диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице. Обозначение: E.

Исследование системы линейных уравнений заключается в ответе на два вопроса: 1) является ли система совместной или несовместной; 2) если система совместна, то является ли она определенной или неопределенной.

Квадратная матрица – матрица, число строк которой равно числу столбцов.

Коэффициент - числовой или постоянный множитель одночлена, неизвестного, переменной величины, вектора, строки, матрицы и др.

Линейная комбинация k строк матрицы A называется выражение, составленное из k строк этой матрицы при помощи умножения на скаляры и сложения: , где - строки матрицы; l₁, l₂,…, l _k, - коэффициенты (скаляры).

Линейно зависимые строки матрицы – строки, линейная комбинация которых равна нулевой строке, если не все коэффициенты равны нулю.

Линейно независимые строки матрицы – строки, линейная комбинация которых равна нулевой строке только при условии, когда все коэффициенты равны нулю.

Линейные операции над матрицами – это операции сложения матриц и умножения матрицы на число.

Матрица (Числовая матрица) – прямоугольная таблица чисел, содержащая произвольное число строк и произвольное число столбцов.

Обозначение: A = (a_ij) или A = || a_ij ||.

См. Вырожденная, диагональная, единичная, квадратная, невырожденная, обратная, симметричная, транспонированная, треугольная матрица.

Матрица системы – матрица, составленная из коэффициентов системы линейных уравнений.

Матрица-столбец (Столбцевая матрица) – матрица, состоящая из одного столбца и имеющая размеры m ´1.

Матрица-строка (Строчная матрица) – матрица, состоящая из одной строки и имеющая размеры 1´ n.

Метод Гаусса – метод решения системы линейных алгебраических уравнений, состоящий в том, что расширенная матрица системы преобразуется элементарными преобразованиями над строками к треугольной, диагональной или единичной матрице.

Минор k -го порядка матрицы A - определитель k -го порядка с элементами, стоящими на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы A.

Минор некоторого элемента определителя - определитель, получаемый из данного определителя путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Обозначение: M_ij - минор элемента a_ij.

Невырожденная (неособенная) матрица – квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля.

Неизвестная величина см. Неизвестное.

Неизвестное (Неизвестная величина) – величина, значения которой подлежат определению.

Неоднородная система линейных уравнений - система линейных уравнений, в которой не все свободные члены равны нулю.

Неопределенная система уравнений – система уравнений, имеющая более одного решения.

Неособенная матрица см. Невырожденная матрица.

Несовместная система уравнений – система уравнений, не имеющая ни одного решения. Пояснение. Множество решений несовместной системы пусто.

Нетривиальное решение – решение однородного уравнения или системы однородных уравнений, не являющееся нулевым решением.

Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.

Нулевое решение см. Тривиальное решение.

 

Обратная матрица – матрица A ^-1, которая, будучи умножена справа или слева на данную матрицу A, дает единичную матрицу, т.е. AA ^-1= A ^-1 A = E.

Обозначение: A ^-1.

Пояснение. Данная матрица и обратная матрица перестановочны.

Общее решение системы линейных уравнений – 1) совокупность всех частных решений неопределенной системы;

2) множество всех решений, в котором базисные неизвестные выражаются через линейные комбинации свободных неизвестных.

Однородная система линейных уравнений - система линейных уравнений, в которой все свободные члены равны нулю.

Однородное линейное уравнение - линейное уравнение, в котором свободный член равен нулю.

Определенная система линейных уравнений - система линейных уравнений, имеющая единственное решение.

Определитель (Детерминант) второго порядка - число, равное произведению элементов на главной диагонали минус произведение элементов на побочной диагонали.

Определитель системы линейных уравнений - определитель матрицы системы линейных уравнений, в которой число неизвестных равно числу уравнений.

Определитель (Детерминант) третьего и высшего порядка - число, равное сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Обозначения: | A |, det A, | a_ij |, det(a_ij), D.

Особая матрица см. Вырожденная матрица.

Перестановочные матрицы – матрицы A и B, если AB = BA.

Побочная диагональ матрицы - совокупность элементов квадратной матрицы порядка n: a _{1 n}, a _{2, n -1}, a _{3, n -2}, …, a_{n 1}, т.е. элементов, у которых сумма индексов на единицу больше порядка матрицы.

Пояснение. Побочная диагональ идет из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

Подматрица – матрица, полученная из данной матрицы путем удаления некоторых строк и/или столбцов.

Порядок матрицы – число строк или столбцов квадратной матрицы.

Порядок определителя - число строк или столбцов определителя.

Присоединенная матрица (Союзная матрица) к квадратной матрице A = (a_ij) – матрица = (A_ij)^T, полученная транспонированием матрицы, составленной из алгебраических дополнений A_ij к элементам a_ij.

Правило Крамера (Формулы Крамера) – правило нахождения решения системы n линейных уравнений с n неизвестными с помощью определителей.

Правило треугольников вычисления определителей третьего порядка - схематическое правило вычисления определителей третьего порядка.

Произведение двух матриц с согласованными размерами – матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующей строки первой матрицы на соответствующий столбец второй матрицы.

Произведение матрицы на число (числа на матрицу) – матрица с теми же размерами, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента исходной матрицы на это число.

Произведение строки на столбец, имеющих одинаковое число элементов, равно числу, полученному суммированием произведений их элементов с одинаковыми номерами.

Равносильные уравнения – уравнения с одними и теми же неизвестными, множества решений которых совпадают.

Равносильные (Эквивалентные) системы линейных уравнений - системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных, если системы имеют одно и то же решение.

Равные матрицы – матрицы равны, если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Обозначение: A = B.

Размеры матрицы – число строк и число столбцов матрицы, обозначаемые m ´ n (читается: m на n).

Разность двух матриц см. Сумма двух матриц.

Ранг матрицы – наибольший порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Обозначение: r, r (A), rang A.

Расширенная матрица системы линейных уравнений – матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов. Обозначение: A | B.

Решение системы линейных уравнений – совокупность значений неизвестных, обращающих одновременно все уравнения рассматриваемой системы в тождества. Примечание. Решением называют также процесс нахождения этих значений.

Свободные неизвестные в общем решении неопределенной системы линейных уравнений – неизвестные, являющиеся аргументами для определения базисных неизвестных и могущие принимать произвольные значения.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестных.

Связанные неизвестные см. Базисные неизвестные.

Симметричная (Симметрическая) матрица – квадратная матрица (a_ij), совпадающая со своей транспонированной матрицей, т.е. при всех i и j имеет место равенство: a_ij = a_ji или A = A ^T. Пояснение. Любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой.

Система m линейных уравнений с n неизвестными – совокупность уравнений, каждое из которых представляет собой линейную комбинацию этих неизвестных, приравненную к некоторому числу (свободному члену).

Совместная система уравнений - система уравнений, имеющая хотя бы одно решение.

Союзная матрица см. Присоединенная матрица.

Столбец матрицы – совокупность элементов матрицы, имеющих одинаковые вторые индексы. Пояснение. Элементы столбца расположены вертикально один под другим.

Строка матрицы - совокупность элементов матрицы, имеющих одинаковые первые индексы. Пояснение. Элементы строки расположены горизонтально друг за другом.

Сумма двух матриц (Разность двух матриц) – третья матрица, элементы которой получены путем сложения (вычитания) соответствующих элементов исходных матриц.

Транспонирование – образование транспонированной матрицы A ^T по данной матрице A.

Транспонированная матрица – матрица A ^T, полученная из заданной матрицы A = || a_ij || по правилу: а) заменой каждой строки матрицы A на столбец матрицы A ^T с тем же номером; б) или заменой каждого столбца матрицы A на строку матрицы A ^T с тем же номером; в) или перестановкой индексов элементов матрицы A.

Треугольная матрица – матрица, все элементы которой выше (или ниже)

главной диагонали равны нулю.

Тривиальное решение (Нулевое решение) системы линейных уравнений – решение, в котором значения всех неизвестных равны нулю.

Уравнение – равенство, содержащее неизвестные и справедливое лишь при некоторых значениях этих неизвестных.

Формулы Крамера см. Правило Крамера.

Частное решение неопределенной системы линейных уравнений – одно из решений этой системы.

Эквивалентные матрицы - две матрицы одного и того же размера, одну из которых можно получить из другой при помощи конечного числа элементарных преобразований. Обозначение: A ~ B.

Эквивалентные системы линейных уравнений см. Равносильные системы линейных уравнений.

Элементарные преобразования матрицы – следующие преобразования:

а) перестановка местами строк (столбцов);

б) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

в) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Элемент матрицы или определителя – число (выражение), находящееся на пересечении определенной строки и определенного столбца матрицы.

Обозначение: a_ij, где i - номер строки, j - номер столбца.