Раздел 2. Векторная алгебра

 

Абсолютная величина вектора см. Модуль вектора.

Абсцисса – первая координата вектора или точки в декартовой системе координат.

Антикоммутативное свойство (Антикоммутативность) векторного произведения двух векторов: при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный, т.е. a ´ b = - b ´ a.

Аппликата – третья координата вектора или точки в декартовой системе координат.

Базис n -мерного векторного пространства (Базисные векторы) – совокупность n линейно независимых векторов этого пространства, линейными комбинациями которых можно представить любой вектор пространства.

См. Ортонормированный базис.

Базис трехмерного пространства (Базис в пространстве) – упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Базис на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Базисные векторы см. Базис n -мерного пространства.

Базисные векторы декартовой прямоугольной системы координат – единичные ортогональные векторы i, j на плоскости и единичные попарно ортогональные векторы i, j, k в пространстве.

Вектор (Векторная величина, геометрический вектор) – направленный отрезок прямой. Пояснение. Вектор является величиной, полностью определенной своим направлением и длиной. Обозначение: a, .

См. Единичный, нулевой, свободный, связанный вектор; коллинеарные, компланарные, линейно зависимые, линейно независимые векторы.

Векторная алгебра – раздел математики, изучающий алгебраические операции над векторами.

Векторная величина см. Вектор.

Векторное произведение двух векторов a и b - вектор c, определяемый следующими тремя условиями:

а) модуль вектора c, численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах, т.е. | c | = | a |×| b |×sin j, где j = Ð(a, b);

б) вектор c ортогонален векторам a и b;

в) вектор c направлен так, что векторы a, b, c образуют правую тройку.

Обозначения: a ´ b = c, [ a, b ] = c, [ ab ] = c.

Векторно-скалярное произведение векторов см. Смешанное произведение векторов.

Вектор-столбец – запись вектора, при которой его координаты располагаются вертикально.

Вектор-строка – запись вектора, при которой его координаты располагаются горизонтально.

Геометрический вектор см. Вектор.

Граничные точки отрезка см. Концевые точки отрезка.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве - система координат, заданная тремя взаимно ортогональными единичными векторами, называемыми ортами.

Декартова прямоугольная система координат на плоскости - система координат, заданная двумя взаимно ортогональными единичными векторами, называемыми ортами.

Декартовы координаты вектора - проекции вектора на оси координат декартовой системы координат.

Обозначение: a_x, a_y, a_z - координаты вектора a; a = a_x i + a_y j + a_z k = (a_x, a_y, a_z).

Длина вектора см. Модуль вектора.

Единичный вектор – вектор, модуль которого равен единице.

Обозначение: a ^o, e. См. Орт.

Квадрант – одна из четырех областей, на которые плоскость делится двумя взаимно перпендикулярными прямыми.

Коллинеарность векторов - свойство векторов быть коллинеарными.

Коллинеарные векторы - векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: a || b.

Компланарность - свойство векторов быть компланарными.

Компланарные векторы – векторы, расположенные в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Компонента см. Координата.

Концевые точки отрезка (Граничные точки отрезка) - точки, между которыми заключен отрезок прямой.

Координата (компонента, составляющая) вектора в декартовой системе координат – проекция вектора на соответствующую ось координат.

Обозначение координат вектора a: a_x, a_y, a_z.

Координатная плоскость – плоскость, проходящая через две координатные оси из трех.

Координатные оси (Оси координат) – числовые прямые, имеющие общую нулевую точку (начало координат).

Координаты точки – 1) числа, определяющие положение точки на плоскости или в пространстве; 2) координаты радиус-вектора этой точки.

Левая тройка векторов - тройка векторов, не являющаяся правой.

Линейная комбинация n векторов – сумма произведений этих векторов на произвольные скаляры (числа), называемые коэффициентами:

l₁ a ₁+ l₂ a ₂ +…+ l _na_n.

Линейно зависимые векторы – векторы, линейная комбинация которых равна нулю, если не все коэффициенты равны нулю.

Линейно независимые векторы – векторы, линейная комбинация которых равна нулю только при условии, когда все коэффициенты равны нулю.

Линейные операции над векторами – это операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Многогранник (Многогранная поверхность) – поверхность, образованная из многоугольников (граней поверхности) так, что каждая сторона любого из этих многоугольников (ребро поверхности) является стороной еще одного многоугольника.

Многоугольник – замкнутая ломаная линия на плоскости.

Модуль вектора (Длина вектора, Абсолютная величина вектора) – число, равное расстоянию между его началом и концом. Обозначение: | a |, | |.

Направляющий косинус вектора – косинус соответствующего направляющего угла.

Направляющий угол вектора – угол, образуемый вектором и соответствующей осью координат декартовой системы.

Начало координат – точка пересечения координатных осей, являющаяся началом отсчета. Обозначение: O.

Нулевой вектор – вектор, модуль которого равен нулю.

Пояснение. Начало и конец нулевого вектора совпадают. Обозначение: o.

Объем тела – мера пространственных тел, не меняющая своего значения при движении тела и равная единице на единичном кубе.

Октант - одна из восьми областей, на которые трехмерное пространство делится тремя взаимно перпендикулярными плоскостями.

Ордината – вторая координата вектора или точки в декартовой системе координат.

Ориентация векторов – взаимное расположение трех векторов в пространстве; три вектора могут быть с правой или левой ориентацией. Такие векторы образуют правую или левую тройку векторов соответственно.

См. Правая тройка векторов.

Орт - единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a. Обозначение: a ^o.

Ортогональность – свойство векторов быть ортогональными.

Ортогональные векторы – 1) векторы, угол между которыми является прямым; 2) векторы, скалярное произведение которых равно нулю.

Ортонормированный базис – базис векторного пространства, образованный единичными попарно ортогональными векторами.

Острый угол между векторами – угол, значение которого меньше 90^о.

Оси координат см. Координатные оси.

Ось – прямая, на которой указаны начало отсчета, единица и положительное направление.

Ось абсцисс (Ось x) – первая ось в декартовой системе координат на плоскости или в пространстве.

Ось аппликат (Ось z) – третья ось в декартовой системе координат в пространстве.

Ось ординат (Ось y) – вторая ось в декартовой системе координат на плоскости или в пространстве.

Отрезок прямой (Отрезок) – часть прямой, заключенная между двумя ее точками и включающая обе эти точки.

Параллелепипед – призма, основаниями которой являются параллелограммы.

Параллелограмм – плоский четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Параллельный перенос (сдвиг) – перемещение фигуры, при котором каждая точка перемещается на один и тот же вектор.

Параллельный сдвиг см. Параллельный перенос.

Пирамида – многогранник, одной их граней которого является многоугольник (обычно это основание), а остальные грани – треугольники с общей вершиной.

Площадь плоской фигуры – неотрицательная функция геометрической фигуры на плоскости, сохраняющая свое значение при движениях и удовлетворяющая условию, что единичный квадрат имеет площадь, равную единице.

Полный угол – угол, равный 360^о.

Правая (Правоориентированная) тройка векторов – три некомпланарных вектора, удовлетворяющих условиям:

1) они упорядочены, и третий вектор направлен по направлению осевого движения правого винта при повороте по наименьшему углу от первого вектора ко второму;

2) они упорядочены и наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от первого вектора ко второму и от второго к третьему кажутся происходящими против часовой стрелки;

3) они упорядочены и из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден совершающимся против часовой стрелки.

Пояснение. Приведены три равносильных условия (определения) правой тройки векторов.

Правило параллелограмма – графическое правило образования суммы двух векторов.

Правило треугольника - графическое правило образования суммы двух векторов.

Призма – многогранник, две грани (основания) которого – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) – параллелограммы.

Проекция вектора на вектор – число, равное модулю вектора, проекция которого находится, умноженному на косинус угла между векторами.

Произведение вектора a на скаляр (число) l – вектор, обозначаемый l a, такой что:

а) его модуль равен произведению модулей исходного вектора и скаляра, т.е.

|l a | = |l|×| a |;

б) новый вектор и исходный вектор коллинеарны, т.е. a || l a;

в) векторы a и l a сонаправлены, если l > 0, и противоположно направлены, если l < 0.

Противоположные векторы – два коллинеарных вектора, имеющих одинаковые модули и противоположные направления. Обозначение вектора, противоположного вектору a: – a.

Прямой угол – угол, равный своему смежному углу; в градусной мере равен 90^o, в радианной мере p/2.

Прямоугольные декартовы координаты – координаты, базис которых состоит из попарно ортогональных единичных векторов.

Равные векторы – векторы, являющиеся коллинеарными, одинаково направленными и имеющие равные модули.

Радиус-вектор точки P – вектор , начало которого находится в начале координат O, а конец – в рассматриваемой точке P.

Развернутый угол – угол, стороны которого составляют одну прямую; в градусной мере равен 180^o, в радианной мере p.

Свободный вектор – множество всех векторов, равных данному вектору, т.е. множество всех векторов с одинаковым модулем и направлением, но с различными начальными точками.

Связанный вектор – вектор с фиксированной начальной точкой.

Скаляр (Скалярная величина) – величина, которая полностью характеризуется одним числом.

Скалярная величина см. Скаляр.

Скалярное произведение двух векторов – число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение: ab, a × b, (a, b).

Скалярный квадрат - скалярное произведение вектора на самого себя.

Обозначение: a ².

Сложение векторов см. Сумма двух векторов.

Смешанное (Векторно-скалярное) произведение трех векторов – число, полученное по правилу: (a´b)×c), т.е. первые два вектора перемножаются векторно, а результат умножается на третий вектор скалярно. Обозначение: abc, (abc).

Составляющая см. Координата.

Сумма двух векторов – новый вектор, получаемый по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначение: a + b = c.

Тетраэдр – треугольная пирамида, т.е. пирамида, основанием которой является треугольник.

Пояснение. Тетраэдр имеет четыре треугольных грани, шесть ребер и четыре вершины.

Треугольная призма – призма, основания которой – треугольники.

Треугольник – многоугольник, имеющий три вершины и три стороны.

Тупой угол – угол, больший прямого, но меньший развернутого.

Угол между двумя векторами – наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов до совмещения с другим.

См. Острый, полный, прямой, развернутый, тупой угол.

Умножение вектора на скаляр – операция отыскания произведения вектора на скаляр. Обозначение: l a = b.

Упорядоченная тройка векторов – три вектора, если указано, какой из них является первым, какой – вторым и какой – третьим.