При вычислении пределов функций мы использовали таблицу 1 эквивалентных бесконечно малых. Например, при вычислении предела 
мы использовали формулы 
Однако этих формул не достаточно для вычисления предела
Нужны более точные формулы или так называемые асимптотические разложения высших порядков. Переходя к описанию таких разложений, введем следующее понятие.
Определение 5. Пусть функция 
определена в некоторой проколотой окрестности
точки 
Говорят, что функция имеет в точке 
асимптотическое разложение 
го порядка, если существуют числа 
такие, что в некоторой в некоторой проколотой окрестности 
представляется в виде
Здесь 
Равенство (3) означает, что функция аппроксимируется (приближенно равна) в некоторой малой окрестности точки многочленом. В каком случае функция имеет асимптотическое разложение порядка? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении.
Теорема 2. Пусть функция имеет в точке производные 
до го порядка включительно. Тогда имеет в точке асимптотическое разложение порядка вида
(формулу (4) называют формулой Тейлора с остаточным членом 
в форме Пеано или локальной формулой Тейлора).
Если в (4) положить 
то получим формулу 
называемую формулой Маклорена-Тейлора. Приведем формулы Маклорена-Тейлора для основных элементарных функций.
Теорема 3. Имеют место следующие разложения: 
Доказательство этих формул базируется на подсчёте производной го порядка соответствующей функции. Докажем, например, формулу (2).
Итак, пусть 
По теореме 1 имеем
Значит, в формуле
будут отсутствовать все четные степени 
а слагаемые с нечетными степенями 
имеют вид 
Следовательно имеет место формула 2.
Замечание 1. В формуле 2 остаточный член можно записать в виде 
а в формуле 3–
в виде 
(почему?).
Теорема 2 аппроксимирует функцию лишь в достаточно малой окрестности точки Условия представления функции на некотором отрезке 
(где 
может быть достаточно большим) по формуле Тейлора описаны в следующем утверждении.
Теорема 4. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:
1) 
существуют и непрерывны на отрезке ;
2) производная 
существует и конечна по-крайней мере на интервале 
Тогда для всех 
функция представляется в виде
где точка 
находится между 
и 
Формулу (5) называют (глобальной) формулой Тейлора с остаточным членом 
в форме Лагранжа.
Если в формуле (5) положить 
то получим равенство 
или, обозначая 
будем иметь
Эту формулу называют формулой Лагранжа. Она верна в случае, когда функция непрерывна отрезке 
а 
существует и конечна по-крайней мере на интервале 
Если,
кроме того, выполняется условие 
то существует точка 
такая, что
(теорема Ролля).
