Арифметические действия над производными
Теорема 4. Если функции 
дифференцируемы в точке 
то в этой точке дифференцируемы и функции 
причем
(врассматриваемой точке 
).
Если, кроме того, 
то в точке дифференцируемо и частное, причем
Доказательство проведем для производной суммы. Имеем 
поэтому
Теорема доказана.
Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
Приведем без доказательства некоторые утверждения, связанные с производными.
Теорема 5. Пусть сложная функция 
определена в точке и некоторой ее окрестност и пусть выполнены условия:
1. функция 
дифференцируема в точке
2. функция 
дифференцируема в соответствующей точке 
Тогда сложная функция дифференцирума в точке и имеет место равенство
Напомним следующие понятия:
а) Функция 
называется обратимой на множестве 
если
При этом функция 
сопоставляющая каждому 
элемент 
такой, что 
называется функцией, обратной к 
Очевидно, имеют место тождества:
Заметим, что все строго монотонные на множестве 
функции обратимы на 
б) Говорят, что функция 
задана параметрически уравнениями 
если функция 
обратима на отрезке 
В этом случае 
где 
функция, обратная к функции 
Теорема 6. Пусть функция в некоторой окрестности точки 
имеет обратную функцию 
Пусть, кроме того, функция 
дифференцируема в точке и 
Тогда обратная функция 
дифференцируема в соответствующей точке 
и имеет место равенство 
Теорема 7. Пусть функция задана параметрически уравнениями 
и пусть выполнены условия:
1) функции 
дифференцируемы в фиксированной точке 
2) 
в рассматриваемой точке 
Тогда функция дифференцируема в точке 
и имеет место равенство
