Свойства математического ожидания

1. Если случайная величина x принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то её математическое ожидание равно ей самой.

2. Константу можно выносить за знак математического ожидания:

М [ k x] = kM [x].

3. Математическое ожидание суммы (разности) любых случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:

М [h + x] = M [h] + M [x].

4. Для любой случайной величины справедливо равенство:

М [x – M [x]] = 0.

5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М [h×x] = M [h] × M [x].

Дисперсия дискретной случайной величины

Зная характеристику среднего поведения случайной величины – математическое ожидание, хорошо было бы оценить, насколько случайная величина отклоняется от среднего, насколько велик ее разброс. С этой целью вводится понятие дисперсии.

Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D [x] = D x= M [(x – )²].

Используя определение дисперсии, для дискретной случайной величины формулу вычисления дисперсии можно представить в таком виде:

Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:

.

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического ожидания.

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

Если x=const (т.е. x не случайна), то D [x]=0.

Чтобы привести характеристику разброса к единицам измерения x, нужно извлечь из нее квадратный корень. Полученное неотрицательное число называется среднеквадратичным или стандартным отклонением случайной величины