Дадим определение вероятности события для случайного эксперимента с несчетным множеством исходов.
Если между множествомW элементарных исходов случайного эксперимента и множеством точек некоторой плоской фигуры S (сигма большая) можно установить взаимно-однозначное соответствие, а также можно установить взаимно-однозначное соответствие между множеством элементарных исходов, благоприятствующих событию А, и множеством точек плоской фигуры s (сигма малая), являющейся частью фигуры S, то
,
где S s– площадь фигуры s, S S – площадь фигуры S.
Пример 10. Два человека обедают в столовой, которая открыта с 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?
Пусть x – время прихода первого в столовую, а y – время прихода второго (12£ x £13, 12£ y £13).
Если первый пришел не позже второго (y ³ x), то встреча произойдет при условии 0 £ y – x £ 1/6 (10 мин. – это 1/6 часа). Если второй пришел не позже первого (x ³ y), то встреча произойдет при условии 0£ x–y £1/6. Между множеством исходов, благоприятствующих встрече, и множеством точек области s, изображенной на рис. 8 в заштрихованном виде, можно установить взаимно-однозначное соответствие.
Искомая вероятность p равна отношению площади области s к площади всего квадрата. Площадь квадрата равна единице, а площадь области s можно определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников, изображенных на рис. 6. Отсюда следует: р = 1–25/36 = 11/36.
2.5 Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Условная вероятность. Независимость событий
Если A и В – несовместные события, (т.е. появление одного из них исключает появления другого в одном и том же испытании), то
P (A (В)= P (A)+ P (В).
Если A и В – совместные события, то A (В = (А \ В)(В,
причем очевидно, что A \ В и В – несовместные события.
Отсюда следует:
P (A (В)= P (A \ В)+ P (В). (2)
Далее очевидно: A =(A \ В)((A ∩ В), причем A \ В и A ∩ В – несовместные события, откуда следует:
P (A)= P (A \ В)+ P (A ∩ В).
Найдем из этой формулы выражение для P (A \ В) и подставим его в правую часть формулы (2). В результате получим формулу сложения вероятностей:
P (A (В)= P (A)+ P (В)– P (A ∩ В),
или, в другой встречающейся в литературе записи,
P (A + В)= P (A)+ P (В)– P (A×В)
Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив A×В = Æ:
P (A + В)= P (A)+ P (В).
