Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќсновные законы распределени€ непрерывных случайных величин. Ќормальное распределение




–авномерный закон распределени€

Ќепрерывна€ случайна€ величина x, равномерно распределена на промежутке [ a; b ], если ее плотность веро€тности f x(х) посто€нна внутри этого промежутка (см. рис. 9).

ѕо свойству функции f x(х) имеем

, откуда .

–авномерное распределение случайной величины X на участке обозначают как

ƒл€ равномерного распределени€ функци€ F x(x) примет вид

√рафик функции F x(x) представлен на рис. 10.

«акон распределени€ непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции f x(х), либо функции F x(x).

Ћегко показать, что и

ѕример 22. ѕусть длина стандартных труб, выпускаемых заводом, колеблетс€ от 2,950 до 3,005 м., то есть €вл€етс€ случайной величиной. ѕредположим, что распределение этой случайной величины подчин€етс€ равномерному распределению. ќпределить среднюю длину трубы и среднее квадратическое отклонение.

–ешение.

ѕоказательный (экспоненциальный) закон распределени€

Ќепрерывна€ случайна€ величина x, имеет показательный (или экспоненциальный) закон распределени€, если ее плотность веро€тности f x(х) задаетс€ функцией:

«десь параметр распределени€

‘ункци€ рассматриваемого распределени€ имеет вид:

–ис. 11. √рафики плотности веро€тности и функции распределени€ показательного распределени€.

 

ƒл€ математического ожидани€ и дисперсии получают выражени€: и

ѕоказательное распределение и распределение ѕуассона тесно св€заны. ≈сли последний Ц это распределение числа по€влени€ событий в заданный интервал времени, то в первом случае нас интересует длина промежутка времени.

ѕример 23. ѕусть в порт под погрузку в течении часа обычно прибывают в среднем 5 грузовиков. ѕорт работает с 8 утра.  акова веро€тность того, что в промежуток времени с 8.15 до 8.30 прибудет грузовик?

–ешение. ƒл€ временного интервала в 15 минут получим λ=(5/60)×15=1,25.

≈сли рассмотреть 15 минут как единицу времени, то дл€ указанного в вопросе задачи промежутка времени полагаем α=1 и β=2. “огда, учитыва€, что получим ѕодставив сюда λ, α, β, получим искомую веро€тность.

 

Ќормальный закон распределени€

¬ теории веро€тностей вводитс€ случайна€ величина, котора€ не имеет себе равных по возможности описани€ действительности. ¬ центральной предельной теореме доказываетс€, что плотность веро€тности всех непрерывных случайных величин, разброс значений которых обусловлен множеством разнообразных факторов, действующих примерно в одинаковой степени и независимо друг от друга, определ€етс€ функцией

¬ этом случае говор€т, что случайна€ величина имеет нормальное (гауссово) распределение плотности веро€тности и записываетс€ как

«десь a и s Ц параметры: , .

‘ункци€ нормального распределени€ имеет вид:

≈сли , то нормальное распределение называетс€ стандартным (нормированным) с плотностью и функцией распределени€ соответственно:

Ёти функции протабулированы и дл€ них имеютс€ обширные статистические таблицы.

называетс€ функцией Ћапласа. ќна св€зана с нормированной функцией Ћапласа соотношением

√рафик кривой стандартногонормального распределени€ представлен на рис.12.

 

–ис. 12. √рафик кривой стандартного нормального распределени€.

 

ƒл€ преобразовани€ любой нормально распределенной случайные величины X в стандартную Z, необходимо воспользоватьс€ заменой переменных:

ћожно показать, что дл€

—лучайные величины с нормальным распределением используют при решении задач двух типов.

¬ первой задаче определ€етс€ веро€тность того, что случайна€ величина принимает значени€ в интервале . Ёта веро€тность находитс€ по формуле:

¬ задачах второго типа, по формуле приведенной ниже, ищетс€ веро€тность того, что случайна€ величина отличаетс€ от своего среднего значени€ a по абсолютной величине не больше, чем на Δ:

“ак, если Δ=σ, то получим P =0,68268; при Δ=2σ будет P =0,95450; а если Δ=3σ, то P =0,99730. Ёто значит, что случайна€ нормально распределенна€ величина практически не принимает значений, которые отличались бы от среднего значени€ по абсолютной величине больше, чем на 3σ (правило трех сигм).

Ќормальное распределение иногда называют законом ошибок.

ѕример 24. –аспределение веса коробок конфет, выпускаемых кондитерской фабрикой, подчин€етс€ закону нормального распределени€ со средним весом 250 г и средним квадратическим отклонением 5 г. Ќайти веро€тность того, что отклонение веса коробок от среднего веса по абсолютной величине не превысит 8 г.

–ешение.

«начение нормированной функции Ћапласа ищетс€ по таблице в ѕриложении.

ѕример 25. ¬ысота саженцев представл€ет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 см и средним квадратическим отклонением 3 см. Ќайти веро€тность того, что высота произвольно вз€того саженца будет больше 34 см, но меньше 43 см; веро€тность того, что высота саженца отклонитс€ от его математического ожидани€ не более чем на 1,5 см.

–ешение. ќбозначим за высоту саженца. ≈сли случайна€ величина распределена по нормальному закону, то веро€тность того, что высота произвольно вз€того саженца будет больше 34 см, но меньше 43 см, будет

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 3248 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќаглость Ц это ругатьс€ с преподавателем по поводу четверки, хот€ перед экзаменом уверен, что не знаешь даже на два. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2440 - | 2024 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.011 с.