Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќсновные законы распределени€ дискретных случайных величин




Ѕиномиальный закон

–ассмотрим в качестве случайной величины X число наступлений некоторого событи€ в n независимых испытани€х. —лучайна€ величина X будет распределена по биномиальному закону с параметрами n и p, если она принимает значени€ 0, 1, 2, Е, m, Е, n, с соответствующими веро€тност€ми:

где

¬еро€тность каждого значени€ вычисл€етс€ по формуле Ѕернулли. —огласно этой формуде можно записать функцию распределени€:

—реднее значение биномиального распределени€ и дисперси€ принимают вид:

ѕример 17. “орговый агент встретилс€ с трем€ потен≠циальными покупател€ми. »з опыта известно, что веро€тность покупки равна 0,3.  акова веро€тность того, что покупку совершит один покупатель, двое, все трое или ни один из них?

–ешение. «адача подходит под услови€ биномитального эксперимента,так как: три испытани€ идентичны, независимы, и каждое испытание имеет лишь два исхода (успех-неуспех). ѕо формуле Ѕернулли рассчитаем веро€тности биномиального распределени€:

ћатематическое ожидание

,

или

и дисперси€

–аспределение ѕуассона

Ёто предельное распределение биномиального закона, когда n велико и p мало , то есть закон распределени€ веро€тностей массовых и редких событий.

—лучайна€ величина X имеет распределение ѕуассона с параметром , если ее возможные значени€ 0, 1, 2,Е, а соответствующие веро€тности вычисл€ютс€ по формуле ѕуассона

—уществуют специальные таблицы распределени€ ѕуассона. ћатематическое ожидание и дисперси€ совпадают и равны параметру λ, который определ€ет этот закон:

Ётот параметр характеризует среднюю интенсивность, с которой случайные событи€ по€вл€ютс€ независимо друг от друга.

„асто случайные событи€, происшедшие за фиксирован≠ный промежуток времени или в фиксированной области прост≠ранства подчин€ютс€ пуассоновскому распределению. »ми могут быть число поступивших вызовов на телефонную стан≠цию за врем€ t, число частиц радиоактивного распада, заре≠гистрированных счетчиком в течение некоторого времени t, число опечаток в большом тексте и т.д.

ѕример 18. ѕрибытие машин на автосто€нку может быть описано распределением ѕуассона, если предположить, что веро€тность прибыти€ в любые два равных промежутка времени одинакова и эти событи€ независимы.

–ешение. ѕусть среднее число прибывающих машин за час равно 10. “огда λ=10 и

дл€

„тобы узнать веро€тность прибыти€ в течение часа, например, п€ти машин (m =5) достаточно рассчитать

 

√еометрическое распределение

ƒискретна€ случайна€ величина X будет распределена по геометрическому закону, если ее возможные значени€ m =1, 2, 3, 4, Е, а веро€тности этих значений определ€ютс€ формулой

Ёто распределение рассматривает обычный биномиальный эксперимент, только вместо вычислени€ числа успехов, случай≠на€ величина определ€ет число испытаний до первого успеха.

ћатематическое ожидание и дисперси€ равны соответственно

ѕример 19. ѕусть 1% населени€ обладает, например, экстрасенсорными способност€ми. —колько людей в среднем надо опросить, чтобы набрать 10 экстрасенсов?

–ешение.  аждый опрос Ц независимое испытание с веро€тностью p =0,01. „исло опрошенных до встречи с первым экстросенсом Ц геометрическа€ случайна€ величина X, среднее значение которой оцениваетс€ математическим ожиданием ƒл€ того, чтобы встретить 10 экстросенсов, надо опросить в среднем в 10 раз больше людей (на основании свойства аддитивности математического ожидани€).

 

√ипергеометрический закон распределени€

ѕо формулам Ѕернули и ѕуассона вычисл€ют веро€тно≠сти по€влени€ событи€ ровно m раз в n независимых повтор≠ных испытани€х. ≈сли эти повторные испытани€ зависимы (осуществл€ютс€ без возвращени€ и, следовательно, схема Ѕернулли не применима), то веро€тность по€влени€ интере≠сующего нас событи€ m раз в n испытани€х определ€етс€ по формуле

где

ѕараметры распределени€ N, M, n.

ћатематическое ожидание и дисперси€ дискретной случайной величины X равны соответственно:

—обытие, веро€тность которого мы хотим определить, состоит, например, в следующем.

¬ лотерее разыгрываетс€ N билетов, из которых M Ц выигрышные. Ќекто приобрел n билетов. Ќайти веро€тность того, что из них m Ц выигрышные. —лучайна€ величина X Ц число выигрышных билетов.

ѕример 20. ¬ торговый салон поступают партии машин по 10 штук. ќбычно 2 из 10 машин не отвечают стандарту качества. ƒл€ контрол€ выбирают всегда 5 машин. „ему равна веро€тность того, что хот€ бы две машины из провер€емых будут забракованы?

–ешение. —лучайна€ величина X Ц число забракованных машин, принимает значение 2. ¬еро€тность этого значени€ при N =10, M =2, N Ц M =8, n =5, m =2 будет

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2043 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

“ак просто быть добрым - нужно только представить себ€ на месте другого человека прежде, чем начать его судить. © ћарлен ƒитрих
==> читать все изречени€...

733 - | 558 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.014 с.