Пусть имеется группа событий H 1, H 2,..., Hn , обладающая следующими свойствами:
1) Все события попарно несовместны: Hi ∩ Hj =; i, j =1,2,..., n; i ¹ j;
2) Их объединение образует пространство элементарных исходов W:
W =H 1(H 2(...(Hn.
В этом случае будем говорить, что H 1, H 2,..., Hn образуют полную группу событий. Такие события принято называть гипотезами.
Пусть А – некоторое событие: А Ì W Тогда имеет место формула полной вероятности:
P (A)= P (A / H 1) P (H 1)+ P (A / H 2) P (H 2)+...+ P (A / Hn) P (Hn)=
.
Доказательство.
Очевидно, что A= (A ∩ H 1)((A ∩ H 2)(...((A ∩ Hn), причем все события A ∩ Hi (i =1,2,..., n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем
P (A)= P (A ∩ H 1)+ P (A ∩ H 2)+...+ P (A ∩ Hn).
Если учесть, что по теореме умножения P (A ∩ Hi)= P (A / Hi) P (Hi) (i =1,2,..., n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.
Пример13. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа окажется бракованной, если лампы поступают в магазин от трех производителей? Причем 30% всех ламп поставляет первый производитель, 50% – второй, 20% – третий. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%.
Решение. Пусть событие H 1 состоит в том, что выбранная лампа поступила от первого производителя, H 2 – от второго, H 3 – от третьего. Очевидно, что
Определим событие A как то, что выбранная лампа оказалась бракованной, а A / Hi как событие, состоящее в том, что выбранная бракованная лампа из ламп i -го производителя. Из условия задачи следует
По формуле полной вероятности получаем
Пример 14. Какова вероятность роста стоимости акций компании в следующем году, если экономист полагает эту вероятность равной 0,75 при экономическом подъеме страны и равной 0,30 при спаде. При этом по его оценке вероятность экономического подъема равна 0,80.
Решение. Имеем две гипотезы: H 1 – подъем экономики, H 2 – спад экономики. Примем за событие А ситуацию – «стоимость акций компании в будущем году поднимется». Очевидно, события H 1 и H 2 образуют полную группу (P (H 1)+ P (H 2)=1,00), отсюда P (H 1) = 0,80 и P (H 2) = 0,20. Числа 0,75 и 0,30 являются условными вероятностями события А при условии гипотез H 1 и H 2 соответственно, т.е. P (A / H 1)=0,75 и P (A / H 2)=0,30. По формуле полной вероятности находим
