Формула полной вероятности

Пусть имеется группа событий H ₁, H ₂,..., H_n , обладающая следующими свойствами:

1) Все события попарно несовместны: H_i ∩ H_j =; i, j =1,2,..., n; i ¹ j;

2) Их объединение образует пространство элементарных исходов W:

W =H ₁(H ₂(...(H_n.

В этом случае будем говорить, что H ₁, H ₂,..., H_n образуют полную группу событий. Такие события принято называть гипотезами.

Пусть А – некоторое событие: А Ì W Тогда имеет место формула полной вероятности:

P (A)= P (A / H ₁) P (H ₁)+ P (A / H ₂) P (H ₂)+...+ P (A / H_n) P (H_n)=

.

Доказательство.

Очевидно, что A= (A ∩ H ₁)((A ∩ H ₂)(...((A ∩ H_n), причем все события A ∩ H_i (i =1,2,..., n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

P (A)= P (A ∩ H ₁)+ P (A ∩ H ₂)+...+ P (A ∩ H_n).

Если учесть, что по теореме умножения P (A ∩ H_i)= P (A / H_i) P (H_i) (i =1,2,..., n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример13. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа окажется бракованной, если лампы поступают в магазин от трех производителей? Причем 30% всех ламп поставляет первый производитель, 50% – второй, 20% – третий. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%.

Решение. Пусть событие H ₁ состоит в том, что выбранная лампа поступила от первого производителя, H ₂ – от второго, H ₃ – от третьего. Очевидно, что

Определим событие A как то, что выбранная лампа оказалась бракованной, а A / H_i как событие, состоящее в том, что выбранная бракованная лампа из ламп i -го производителя. Из условия задачи следует

По формуле полной вероятности получаем